前言

Hello！小伙伴！非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭ 昵称：海轰标签：程序猿｜C++选手｜学生简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python 学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！机器学习小白阶段文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习知其然知其所以然！

系列文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（1）：图的基本概念

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（2）：图的矩阵表示

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（3）：路径与连通

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（4）：有向图的连通性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（5）：树及其性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（6）：生成树算法

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（7）：连通度

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之图论（8）：割边、割集、割点

5.1 匹配的概念

定义5.1

设 $G=(V,E)$ 是无向图， $M\subseteq E$ ， $M$ 中任意两条边均不相邻，称 $M$ 为 $G$ 的一个匹配

$M$ 中每条边的两个端点称为配对的

若顶点 $v$ 与 $M$ 中边关联，则称 $v$ 为 $M$ 渗透点，否则，称为 $M$ 非渗透点

$M$ 渗透点：顶点 $v$ 在作为组成匹配边两个顶点的其中一个点

在这里插入图片描述

$M=\{v_1v_7,v_2v_3,v_4v_5\}$ 是一个匹配
$v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_7$ 均是 $M$ 渗透点
$v_6,v_8$ 是 $M$ 非渗透点

定义5.2

设 $M$ 是 $G$ 的匹配

若 $M$ 渗透了 $G$ 的每个顶点，则称 $M$ 为 $G$ 的理想匹配
若 $M$ 是 $G$ 中含边数最多的匹配，则称 $M$ 为 $G$ 的最大匹配

理想匹配一定是最大匹配，但最大匹配不一定是理想匹配

一个图有理想匹配的一个必要条件是：必须是偶数个顶点的图

如果一个图有理想匹配，则必定有偶数个顶点含有偶数个顶点的图不一定有理想匹配

定义 5.3

设 $M$ 是 $G$ 的一个匹配， $P$ 是 $G$ 中的一条路径

若 $P$ 的边在 $M$ 与 $E - M$ 中交替出现，则称 $P$ 是一条 $M$ 交错路径
若一条 $M$ 交错路径的起点和终点都是 $M$ 非渗透点，则称其为 $M$ 可增长路径

可增长的含义

把 $M$ 可增长路径上不在匹配中的边放入匹配中，把原来属于匹配的边从匹配中去掉（在可增长路径上的匹配边）这样得到的新匹配比原来的匹配边数增加1 简单理解：因为在 $M$ 可增长路径中，起始点和终点都是非渗透点，所以可增长路径中非匹配边的数量一定是在这条可增长路径上匹配边数量+1，然后我们把这些非匹配边变为匹配边，匹配边变为非匹配边

结语

说明：

参考于课本《图论》
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有一点点帮助，如有错误欢迎小伙伴指正