线性代数的概念，以及它和矩阵的关系（主要集中讨论线性变换在二维空间中长什么样以及他们如何与矩阵向量乘法关联）
首先解析线性变换这个术语。
变换本质是函数的一种花哨的说法：接收内容并输出对应的结果。
在线性代数的情况下，我们考虑接收一个向量并且输出一个向量的变换。
既然变换和函数意义相同为什么使用前者而不是用后者？
因为使用变换是在暗示以特定方式来可视化这一输入输出关系。一种理解‘向量的函数’的方法是使用运动，如果变换接收一个向量并输出一个向量，我们想象这个输入向量移动到输出向量的位置。
接下来要理解整个变换，我们可以想象每一个输入向量都移动到对应输出向量的位置。
线性代数限制在一种特殊类型的变换上（线性变换）。
直观地说如果一个变换具有以下两条性质我们就称它是线性的：
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直线在变换后仍然保持为直线不能有所弯曲。
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原点必须保持固定。
总的来说线性变换是保持网格平行且等距分布的变换。
部分线性变换很容易思考，比如关于原点的旋转，其它的稍微复杂难以言表。
如何用数值来描述线性变换：比如通过编程来制作动画时，应该给计算机什么样的公式使得给一个向量坐标，能得出变换后的向量坐标呢？ 实际结果是只需要记住两个基向量i帽和j帽变换后的位置其它向量都会随之而动。 比如说考虑坐标（-1,2）的向量V，这个向量就是-1与i帽之积与j帽之积的和。 如果我们运用一些变换并且根据这三个向量的运动，网格线保持平行且等距分布的性质有一个重要的推论，变换后的向量V的位置是-1与变换后的i帽之积加上2与变换后的j帽之积。 换句话说：向量v是i帽和j帽的一个特定线性组合，那么变换后的向量v也是换换后的i帽与j帽的同样的线性组合，这意味着可以只根据变换后的i帽和j帽就推断出变换后的v。 以上内容是在说，一个二维线性变换仅有四个数字完全确定，变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标，通常我们将2×2的格子中，叫做2×2矩阵，可以把它的列理解为两个特殊的向量即变换后的i帽和j帽。 如果有一个描述线性变换的2×2矩阵以及给定一个向量，想了解线性变换对于这个向量的作用只需要去除向量的坐标，将它们与矩阵特定的列相乘然后将结果相加即可，这与缩放基向量再相加的思想一致。 向量变换计算：
如果变换后的i^和j^是线性相关的，那么意味着其中一个向量是另一个的倍数，那么这个线性变换将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上，也就是这两个线性相关向量所张成的一维空间。
总之线性变换是操纵空间的一种手段，他保持网格线平行且等距分布，且保持原点不动，令人高兴的是，这种变换只需要几个数字就能描述清楚，这些数字就是变换后基向量的坐标，以这些坐标位列所构成的矩阵为我们提供了一种描述线性变换的语言，而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用与给定向量的一种途径，每当看到一个矩阵时都可以把它结读对空间的一种特定变换。
