今天读了一下《地理坐标（经纬度坐标）和屏幕坐标（xy坐标）间的转换》，觉得内容很好，特摘录和附上自己的解释。

背景

在我们的屏幕上，有一张地图，这张地图经过缩放、平移、旋转，最终地理坐标和屏幕坐标的关系大致如下图所示：

这种关系要怎么描述呢？我们可以假设地图是一张纸，而屏幕是一堵墙。只要我们有两个图钉，我们就能把纸定在墙上。我们把这两个点称为锚点。锚点在屏幕坐标系上的坐标是(x1,y1)和(x2,y2)，对应在地理坐标系上的坐标是(lon1,lat1)和(lon2,lat2)。

那现在的问题就变成了，已知两个锚点的坐标，

（1）地理坐标转屏幕坐标：已知任意一点的地理坐标(lon,lat)，求它在屏幕上的坐标(x,y)

（2）屏幕坐标转地理坐标：已知任意一点的屏幕坐标(x,y)，求它的经纬度坐标(lon,lat)

lon 表示 longitude (纬度)
lat 表示 latitude (经度)
x,y 表示屏幕上的只是一个任意位置的坐标点

转换算法

1、铺垫内容-地理坐标平面化

在一个小范围内（例如是方圆几公里内），我们可以假设地面是平的，而不是弯的。如果经纬度都用弧度表示，那么1纬度对应的长度是：

1 纬度长度 = R \cdot lat

注意：此处的 lat 指的不是我们常用的纬度度数，而是纬度弧度。半径乘以弧度才能得到弧长！ $\frac{度数}{360}=\frac{弧度}{2π}$ 故弧度 = 度数 $\cdot \frac{ \pi }{180}$

其中 $R$ 是地球半径。而相同经度间的距离会随着纬度的增加而减少，

在 $lat$ 这一纬度下，1经度对应的长度是：

1 经度长度= R \cdot lon \cdot \cos{(lat )}

上式中的 $R \cdot \cos{(lat )}$ 就是上图中的某一纬度下的切面的半径，然后在半径乘以弧度。

那么，(lon,lat)这个坐标平面化后的坐标就是： $(R \cdot lon \cdot \cos{(lat)},R \cdot lat)$

由于我们是假定在小范围内纬度是不变的，故此时若我们有两个经度不同的点，求经度长度的差时，应该遵循：

dlen_{lon} = R \cdot lon_2 \cdot cos (lat) - R \cdot lon_1 \cdot cos (lat) = R(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat)

其实上式中的求纬度长度差时用到的 $lat$ ，使用 $lat_1$ 或者是 $lat_2$ 都对，因为我们在计算经度长度时视作一致。

如果求一个纬度长度差与经度长度差比值的话：

\frac{dlen_{lat}}{dlen_{lon}} = \frac{R \cdot lat_2-R \cdot lat_1}{R(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat)}

好，我们上下同时除以 $R$ ，可得

= \frac{lat_2- lat_1}{(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat)}

又因为前面提到过，我们计算经度长度时视纬度为不变的，故我们随意地，把 $lat_2$ 代给 $lat$ .

= \frac{lat_2- lat_1}{(lon_2 - lon_1 )\cdot cos (lat_2)}

这里需要注意的是： $\frac{lat_2- lat_1}{(lon_2 - lon_1 )}$ 是个比值，故用度数比和弧度比都一致。但是， $cos (lat_2)$ 处只能是弧度，原文的代码中有特别指出。

此二者的比值可以方便我们：

在得到经度时根据比值关系获得纬度

或

在得到纬度时根据比值关系获得经度

换到解方程组里就是y通过某种关系变成了能用x表示的式子，方程中只剩下一个未知数后，便可以求解。此刻，我们已经得到经纬度的代数关系，下面就是去根据向量法来把问题拉回到一个点上的经纬度以及xy之间的关系。

2、核心内容-向量法

由已知点和未知点组成两组向量：

由于坐标系转换是线性变换，所以两组向量有以下特性：

（1）两向量在不同的坐标系中的长度比是相同的。
（2）两向量在不同的坐标系中的夹角是相同的。

根据上面两个特性，我们可列出方程组：

下面提到的 d ，应该只是简单代指 difference （差值）

设向量1为 $(dx_1,dy_1)$ ， $(dlon_1,dlat_1)$ ，向量2为 $(dx_2,dy_2)，(dlon_2,dlat_2)$ ，

其中

$dx_1=x_2-x_1$ ， $dy_1=y_2-y_1$ ， $dlon_1=lon_2-lon_1$ ， $dlat_1=lat_2-lat_1$

$dx_2=x-x_1$ ， $dy_2=y-y_1$ ， $dlon_2=lon-lon_1$ ， $dlat_2=lat-lat_1$ ，

然后

$k_1=norm(dx_1,dy_1)$

$k_2=norm(dlon_1,dlat_1)$

$k_3=norm(dx_2,dy_2)$

$k_4=norm(dlon_2,dlat_2)$

这里的 norm 函数我查了一下，就是求范数，根据《np.linalg.norm(求范数)》一文的介绍，向量的范数有计算公式，默认是求二范数，二范数就是向量的模长。

下面我们给出方程组：

根据前文中提到的 两向量在不同的坐标系中的长度比是相同的 可得到

\frac{k_1}{k_2} = \frac{k_3}{k_4}

本式当然可以写成：

\frac{\sqrt{dx_1^2 + dy_1^2}}{\sqrt{dlon_1^2+dlat_1^2}} = \frac{\sqrt{dx_2^2 + dy_2^2}}{\sqrt{dlon_2^2+dlat_2^2}}

根据前文中提到的 两向量在不同的坐标系中的夹角是相同的

我们可得出以下四个式子：

① \frac{dx_1}{k_1} = \frac{dx_2}{k_3} （通过x求夹角 cos 值）

② \frac{dy_1}{k_1} = \frac{dy_2}{k_3} （通过y求夹角 sin 值）

③ \frac{dlon_1}{k_2} = \frac{dlon_2}{k_4} （通过经度求夹角 cos 值）

④ \frac{dlat_1}{k_2} = \frac{dlat_2}{k_4} （通过纬度求夹角 sin 值）

由 ① 乘以 ③ 可得：

⑤ \frac{dx_1 \cdot dlon_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dx_2 \cdot dlon_2}{k_3 \cdot k_4}

由 ② 乘以 ④ 可得：

⑥ \frac{dy_1 \cdot dlat_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dy_2 \cdot dlat_2}{k_3 \cdot k_4}

将 ⑤ 与 ⑥ 相加，即可得原文中提到的复合在一起的式子：

\frac{dx_1 \cdot dlon_1 + dy_1 \cdot dlat_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dx_2 \cdot dlon_2 + dy_2 \cdot dlat_2}{k_3 \cdot k_4}

故最后的方程组为：

\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} \frac{k_1}{k_2} = \frac{k_3}{k_4} \\ \frac{dx_1 \cdot dlon_1 + dy_1 \cdot dlat_1 }{k1 \cdot k_2} = \frac{dx_2 \cdot dlon_2 + dy_2 \cdot dlat_2}{k_3 \cdot k_4} \end{matrix}\right. \end{array}

我再贴张用LaTeX公式编辑器绘制出的大图：

请添加图片描述

通过解上面的方程组，我们就能得到未知和屏幕坐标或未知的地理坐标。

为什么呢？别看推导过程中代数符号（变量名）很多，其实不确定的值只有：

(x,y)和(lon,lat)

故，接下来就简单了：

将 $(x,y)$ 带入方程组就可以得到 $(lon,lat)$
反过来，将 $(lon,lat)$ 带入方程组就可以得到 $(x,y)$

这里需要注意的是：

处于分母位置的 $k_1$ 、 $k_2$ 、 $k_3$ 、 $k_4$ 都不能为零

转换为编程中的除零异常就是需要注意的是：

参考的两点不能完全相等
进行计算的 $(x,y)$ 或 $(lon,lat)$ 不能与第一个参考点相同

对于第二句话，由于类库使用者调用本函数时，不会注意传参顺序，故你可要求他要计算的点不应该为两个参考点中任意一个。实际工程中，对于这个问题，我们判断一下 $dx_1,dy_1$ ，即当前点是否和参考点重合，如果重合，直接返回参考点。

屏幕坐标转地理坐标(Java实现）

由于原文中已给出了详尽的C#代码，这里我只给出自己的关于屏幕坐标转地理坐标的Java实现。由于代码实现解方程组我还不熟悉，只能按照原有文章中的代码逻辑直接给出到大家，待后续有能力了，我会把变量都和代数中的符号保持一致。

1.首先定义包含 $(x,y)$ 和 $(lon,lat)$ 的数据存储的类

public class XYLonLatModle {

    private double x;

    private double y;

    private double longitude;

    private double latitude;

    public double getX() {
        return x;
    }

    public void setX(double x) {
        this.x = x;
    }

    public double getY() {
        return y;
    }

    public void setY(double y) {
        this.y = y;
    }

    public double getLongitude() {
        return longitude;
    }

    public void setLongitude(double longitude) {
        this.longitude = longitude;
    }

    public double getLatitude() {
        return latitude;
    }

    public void setLatitude(double latitude) {
        this.latitude = latitude;
    }

    public String getWgsString() {
        return latitude + "," + longitude;
    }
}

然后为了构建这个 XYLonLatModle 更加方便，我们再写一个 Builder 类。

public final class XYLonLatModleBuilder {
    private double x;
    private double y;
    private double longitude;
    private double latitude;

    private XYLonLatModleBuilder() {
    }

    public static XYLonLatModleBuilder aXYLonLatModle() {
        return new XYLonLatModleBuilder();
    }

    public XYLonLatModleBuilder withX(double x) {
        this.x = x;
        return this;
    }

    public XYLonLatModleBuilder withY(double y) {
        this.y = y;
        return this;
    }

    public XYLonLatModleBuilder withOriginalXY() {
        this.x = 0;
        this.y = 0;
        return this;
    }

    public XYLonLatModleBuilder withXyString(String xyString){
        String[] strings = xyString.split(",");
        this.x = Double.parseDouble(strings[0]);
        this.y = Double.parseDouble(strings[1]);
        return this;
    }

    public XYLonLatModleBuilder withLongitude(double longitude) {
        this.longitude = longitude;
        return this;
    }

    public XYLonLatModleBuilder withLatitude(double latitude) {
        this.latitude = latitude;
        return this;
    }

    public XYLonLatModleBuilder withLatitudeLongitudeString(String latLngString) {
        String[] strings = latLngString.split(",");
        this.latitude = Double.parseDouble(strings[0]);
        this.longitude = Double.parseDouble(strings[1]);
        return this;
    }

    public XYLonLatModle build() {
         XYLonLatModle xYLonLatModle = new  XYLonLatModle();
        xYLonLatModle.setX(x);
        xYLonLatModle.setY(y);
        xYLonLatModle.setLongitude(longitude);
        xYLonLatModle.setLatitude(latitude);
        return xYLonLatModle;
    }
}

2.创建工具类根据两个参照点和当前的 $(x,y)$ 计算 $(lon,lat)$

public class XYLongitudeLatitudeConvertUtil {

    public static double norm(double a, double b) {
        return Math.sqrt(a * a + b * b);
    }

    /**
     * x y 坐标转 经纬度
     *
     * @param x
     * @param y
     * @param reference1
     * @param reference2
     * @return
     */
    public static XYLonLatModle vectorMapXyToLatLng(double x, double y, XYLonLatModle reference1, XYLonLatModle reference2) {

        double x1 = reference1.getX();
        double y1 = reference1.getY();
        double lon1 = reference1.getLongitude();
        double lat1 = reference1.getLatitude();

        double x2 = reference2.getX();
        double y2 = reference2.getY();
        double lon2 = reference2.getLongitude();
        double lat2 = reference2.getLatitude();
        

        if (x - x1 == 0 && y - y1 == 0) {
            // 实时点 与第一参考点重合，直接返回参考点
            return reference1;
        }
        if (x - x2 == 0 && y - y2 == 0) {
            // 实时点 与第二参考点重合，直接返回参考点
            return reference2;
        }


        double lon_cos = Math.cos(lat2 * Math.PI / 180);

        double m = (lon2 - lon1) * lon_cos;
        double n = (lat2 - lat1);

        double dx1 = x2 - x1;
        double dy1 = y2 - y1;
        double dx2 = x - x1;
        double dy2 = y - y1;

        double a = (dx2 * dx2 + dy2 * dy2) * (m * m + n * n) / (dx1 * dx1 + dy1 * dy1);

        double norm = norm(m, n);
        double v = dx1 * dx2 + dy2 * dy1;
        double sqrt = Math.sqrt(a);
        double b = v * norm * sqrt / (norm(dx1, dy1) * norm(dx2, dy2));

        double c = Math.sqrt(b * b * n * n - (m * m + n * n) * (b * b - a * m * m));

        double q1 = (b * n + c) / (m * m + n * n);
        double q2 = (b * n - c) / (m * m + n * n);

        double p1 = (b - q1 * n) / m;
        double p2 = (b - q2 * n) / m;

        double lon_1 = p1 / lon_cos + lon1;
        double lat_1 = q1 + lat1;
        double lon_2 = p2 / lon_cos + lon1;
        double lat_2 = q2 + lat1;

        double judge1 = (lon_1 - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat_1 - lat1) * (lon2 - lon1);
        double judge2 = (lon_2 - lon1) * (lat2 - lat1) - (lat_2 - lat1) * (lon2 - lon1);
        double judge = (x - x1) * (y2 - y1) - (y - y1) * (x2 - x1);

        double lon = 0;
        double lat = 0;
        if (judge * judge1 < 0) {
            lon = lon_1;
            lat = lat_1;
        } else {
            lon = lon_2;
            lat = lat_2;
        }

        XYLonLatModle xyLonLatModle = XYLonLatModleBuilder.aXYLonLatModle().withX(x).withY(y).withLongitude(lon).withLatitude(lat).build();
        return xyLonLatModle;
    }

}

本方法未用到任何jar包依赖，直接使用的Java基本语法，故不需要给出import

最简易的调用就是用屏幕中的零点和一个较大的点来作参考：

XYLonLatModle originalPoint = XYLonLatModleBuilder.aXYLonLatModle()
        .withOriginalXY()
        .withLatitudeLongitudeString("20.156,52.369")
        .build();
XYLonLatModle anotherPoint = XYLonLatModleBuilder.aXYLonLatModle()
        .withXyString("5,5")
        .withLatitudeLongitudeString("20.157,52.370")
        .build();
XYLonLatModle xyLonLatModle = XYLongitudeLatitudeConvertUtil.vectorMapXyToLatLng(x, y, originalPoint, anotherPoint);

屏幕xy相对坐标转经纬度坐标

背景

转换算法

1、铺垫内容-地理坐标平面化

2、核心内容-向量法

屏幕坐标转地理坐标(Java实现）

1.首先定义包含(x,y)(x,y)(x,y) 和 (lon,lat)(lon,lat)(lon,lat) 的数据存储的类

2.创建工具类根据两个参照点和当前的(x,y)(x,y)(x,y) 计算 (lon,lat)(lon,lat)(lon,lat)

1.首先定义包含 $(x,y)$ 和 $(lon,lat)$ 的数据存储的类

2.创建工具类根据两个参照点和当前的 $(x,y)$ 计算 $(lon,lat)$