上图所示的时生成树的图示，而在本次算法课程中，我们要解决的时最小生成树问题。
最小生成树，通俗的讲就是用最少的边和最小的权值和，来将整个图中所有的点都能互相联通。
Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法
主要思路
使用集合存最小生成树中的点，每次寻找集合外距离最近的点，将这个点加入到集合中，然后用这个点去更新其他点到集合的距离。
Prim算法和Dijistra算法比较相似，但是Prim算法中的距离指的是点到集合的距离，而Dijistra中的距离指的是点到源点之间的距离。
算法步骤
初始化 dist[i] = +∞
for(i : 0 - n) 迭代n次：
1) t = 找到集合外距离最近的点;
2) 使用 t 更新其他点到集合的距离;
3) 把 t 加入到集合中 st[t] = true;
例题
模板题-AcWing 858. Prim算法求最小生成树
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V 表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
题解代码
/*
* @Author: IndexYang
* @Date: 2022-02-19 22:25:06
* @Last Modified by: IndexYang
* @Last Modified time: 2022-03-07 19:31:22
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m;
int dist[N]; //某个点到集合的距离
int g[N][N]; //存初始图
bool st[N]; //已经存入集合中的点
int prim(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
int res = 0; //存储最小生成树的最终长度
for(int i=0;i<n;i++){
int t=-1;
//寻找集合外的距离最近的点
for(int j=1;j<=n;j++)
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
//如果不是最初的点
if(i != 0 && dist[t] == INF) return INF;
if(i != 0 ) res += dist[t];
//使用t来更新其他点到集合的距离
for(int j=1;j<=n;j++) dist[j] = min(dist[j],g[t][j]);
//标记此点已经添加进集合中
st[t] = true;
}
return res;
}
int main(){
cin>>n>>m;
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--){
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);
}
int t = prim();
if(t == INF) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<t<<endl;
return 0;
}
Kruskal算法
主要思路
Kruskal求解最小生成树的方法是在所有的边权重中每次选取最小权重的边，如果将这个边添加到最小生成树集合中时，不会产生环路（在未加入这个边时，这条边的两个点不连通），则将这个边加入到集合中来。
算法步骤
1) 将所有边按照权重从小到大排序。
2) 枚举每条边的起点ab和权重w：
if (a b 不连通):
将这条边加入到集合中（连接ab）
例题
模板题-AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树
给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含三个整数 u,v,w，表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。
数据范围
1≤n≤10^5,
1≤m≤2∗10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。
输入样例：
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例：
6
题解代码：
/*
* @Author: IndexYang
* @Date: 2022-02-20 12:09:06
* @Last Modified by: IndexYang
* @Last Modified time: 2022-02-21 16:41:44
*/
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200010;
struct Edge{
int a,b,w;
}edges[N]; //使用结构体来存储边
int n,m;
int p[N]; //本题中使用到了并查集的思想
int find(int x){ //找到两个点的根节点，如果根节点一样则为连通
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
//sort函数的辅助，升序排列
bool cmp(Edge a,Edge b){
return a.w < b.w;
}
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<m;i++){
int a,b,w;
cin>>a>>b>>w;
edges[i] = {a,b,w};
}
sort(edges,edges+m,cmp); //将所有便按照权重由小到大排列
for(int i=1;i<=n;i++) p[i] = i; //初始化并查集，使得每个点的最初父节点都为自己
int res = 0,cnt = 0;
for(int i=0;i<m;i++){
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a=find(a),b=find(b);
if(a != b){ //如果不连通，则将这个边加入到最小生成树中来，且将两边连接
p[a] = b;
res += w;
cnt++;
}
}
if(cnt < n-1) cout<<"impossible"<<endl;
else cout<<res<<endl;
return 0;
}
