LeetCode 198.打家劫舍

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题目：一个小偷准备晚上偷东西，每家都会有一定数量的现金，但如果同时偷盗相邻的两家，则会发生报警。要求设计一个方法能使得小偷在一晚上偷到的现金最多。

解题思路

本题唯一的限制就是不能偷盗连续两家的，我们可以先使用几个小数据进行模拟。假设只有一家，则最大偷盗的就是那家的现金。假设只有两家，则会偷盗两家现金较多的那家。如果有三家，则会比较第一家和第三家的现金和与第二家哪个大，选择大的偷。那么如果有四家呢？此时的情况就变成偷盗以下情况最大的：

1. 第一家和第三家
2. 第二家和第四家
3. 第一家和第四家

因此如果屋子的数量大于3，则我们可以使用动态规划来获取可偷盗的最大现金，我们首先假设如果存在i家屋子，则第i家的现金必须偷，此时状态转移方程dp[i]的含义就是如果确定偷当前屋子能最多偷多少。状态转移方程的更新为：

可得如下代码：

public int rob(int[] nums) {
        // dp含义 dp[i]表示如果确定偷当前屋子能最多偷多少
        if(nums==null||nums.length==0) return 0;
        if(nums.length==1) return nums[0];
        if(nums.length==2) return Math.max(nums[0], nums[1]);
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = nums[1];
        dp[2] = nums[0] + nums[2];
        int maxRob = Math.max(dp[1], dp[2]);
        for(int i=3;i<nums.length;i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-2], dp[i-3]) + nums[i];
        }
        for(int value:dp){
            maxRob = Math.max(value, maxRob);
        }
        return maxRob;
    }

上述代码时间复杂度和空间复杂度都是$O(n)$。

可否换一种思路，题目要的是当有n间屋子时，所能偷的最大现金数量。那么我们是否可以直接定义动态转移方程的含义dp[i]就是当存在i间屋子时所能偷盗的最大现金数量，此时动态转移方程的更新就变为：

可得如下代码：

public int rob2(int[] nums) {
        // dp的含义 dp[i]表示当有i间屋子时可偷最大数值
        if(nums==null||nums.length==0) return 0;
        if(nums.length==1) return nums[0];
        int[] dp = new int[nums.length];
        dp[0] = nums[0];
        dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
        for(int i=2;i<nums.length;i++){
            dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i] , dp[i-1]);
        }
        return dp[nums.length-1];
    }

代码的时间复杂度和空间复杂度还是$O(n)$。