【图解数据结构】树和二叉树全面总结

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【图解数据结构】树和二叉树全面总结

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一、前言

  • 学习目标1:掌握树和二叉树的基本概念、五大性质、判断完全二叉树、满二叉树。

  • 学习目标2:记住二叉树的四大遍历、要求写出遍历顺序和相应的递归代码。搞懂二叉树和树的相互转换流程

  • 重点:二叉树的遍历性质、二叉树和树的相互转换

二、概念及定义

1.树

什么叫树?是下面这个? 1.png

抽象很到位,但经历过数据结构的人,下面这张图更加到位哦:

1.png 请理清一下上面这张图的人物关系:

上面这张图只有一个根节点,祖父作为根可以叫做大根堆,而你作为根只能叫做小根堆。向下发散出不同的结点,一个结点下面连着几个线叫做,而下面没有了结点就称为叶子

同一层的叫兄弟结点,下一层的叫孩子节点。有几代人就有几个层次,层次最大值叫做这个家族的高度,生的孩子数目最多的叫做这个家族的

2.二叉树

二叉树,二叉树字面意思就是一个树只能分两个叉。左面的叉叫做左孩子,右面的叉叫做右孩子。

官方术语: 满足每个结点度不大于2,孩子结点次序确定的树。

3.满二叉树

满二叉树就是满的,意思是每一层都是最大的结点,不能有空。

4.完全二叉树

  • 结点按照编号从左到右依次构建二叉树,不存在无左孩子、却有右孩子的情况(有就不是)

  • 满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树

三、二叉树的性质

俗话说:性质学得好,弯路少走一半!

1.层结点

在二叉树的第i层上最多有2^{i-1}个结点(i>=1)

2.总结点

 深度为k的二叉树最多有2^{k}-1个结点(k>=1)

3.深度

向下取整,比如4.5向下取整为4

4.结点数

对于任意一棵二叉树,度为0的结点数等于度为2的结点数+1。

5.孩子结点

结点为i双亲结点为i/2向下取整,左孩子2* i,右孩子2*i+1

上面的性质我就不推导了,其实就是实在不想写了。

四、二叉树的遍历

1.先序遍历

2.gif 算法讲解

  • 遍历顺序:根结点->左子树->右子树

  • 动态图解:和上面的动态图一样,先序遍历就像一个小人从根结点开始,围绕二叉树的外圈开始跑(遇到缝隙就钻进去),按照跑的顺序,依次输出序列

递归代码

void  PreOrder(BiTree root) 
/*先序遍历二叉树, root为指向二叉树(或某一子树)根结点的指针*/
{
	if (root!=NULL)
	{
		Visit(root ->data);  /*访问根结点*/
		PreOrder(root ->LChild);  /*先序遍历左子树*/
		PreOrder(root ->RChild);  /*先序遍历右子树*/
	}
}
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2.中序遍历

5.gif

算法讲解 

  •  遍历顺序:左子树->根结点->右子树

  • 动态图解:中序遍历就像投影仪一样,将二叉树从最左侧到最右侧依次投影到同一水平线上面,得到的从左到右的相关序列就是二叉树的中序遍历

 递归代码

void  InOrder(BiTree root)  
/*中序遍历二叉树, root为指向二叉树(或某一子树)根结点的指针*/
{
	if (root!=NULL)
	{
		InOrder(root ->LChild);   /*中序遍历左子树*/
		Visit(root ->data);        /*访问根结点*/
		InOrder(root ->RChild);   /*中序遍历右子树*/
	}
}
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3.后序遍历

看后序遍历的动态图图之前,还记不记得先序遍历的动态图?不会忘了吧。

后序遍历就是在先序遍历的基础之上,进行像剪葡萄一样的操作,如下图:

7.gif 算法讲解 

  • 遍历顺序:左子树->右子树->根结点

  • 动态图解: 后序遍历也是按照先序遍历的顺序输出,不过后序遍历就像剪葡萄,只能一个个剪,不能让超过1个的葡萄一起掉下来,那就错了。例如上图中的B,剪去B后面的D、E、H、I、J都会掉下来(达咩),而H剪去只会掉下H,规律就是这个规律

 递归代码

void  PostOrder(BiTree root)  
/*后序遍历二叉树, root为指向二叉树(或某一子树)根结点的指针*/
{
	if (root!=NULL)
	{
		PostOrder(root ->LChild);   /*后序遍历左子树*/
		PostOrder(root ->RChild);   /*后序遍历右子树*/
    	Visit(root ->data);        /*访问根结点*/
     }
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4.层次遍历

8.png

算法讲解 就是一层一层的从左至右输出,算法不要求掌握

拓展

  • 树的先根遍历==二叉树的先序遍历
  • 树的中根遍历==二叉树的后序遍历
  • 树的后根遍历==二叉树的中序遍历

五、遍历算法的简单应用

1.建立二叉链表存储的二叉树

void CreateBiTree(BiTree *bt)
   //按“扩展先序遍历序列”建立二叉树的二叉链表的算法
{
    char ch;
    ch = getchar();
    if(ch==‘.’) *bt=NULL;  // 输入时以点号“. ”表示空结点。
    else 
	{
	      *bt=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode)); //生成一个新结点  
          (*bt)->data=ch;
          CreateBiTree(&((*bt)->LChild)); //生成左子树
          CreateBiTree(&((*bt)->RChild)); //生成右子树
	}
}
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2.输出叶子结点

void  PreOrder(BiTree root) 
/*先序遍历二叉树, root为指向二叉树根结点的指针*/
{
	if (root!=NULL)
	{
		if (root ->LChild==NULL && root ->RChild==NULL)
			printf("%c  ",root ->data);  /*输出叶子结点*/
		PreOrder(root ->LChild);  /*先序遍历左子树*/
		PreOrder(root ->RChild);  /*先序遍历右子树*/
	}
}
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3.统计二叉树叶子结点数目

/* LeafCount保存叶子结点的数目的全局变量,调用之前初始化值为0 */ 
方法一:
void leaf_a(BiTree root)
{
	if(root!=NULL)
	{
		leaf_a(root->LChild);	
            leaf_a(root->RChild);
		if (root ->LChild==NULL && root ->RChild==NULL)
			LeafCount++;
	}
}
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4.求二叉树高度

int PostTreeDepth(BiTree bt)   /* 后序遍历求二叉树的高度递归算法 */
{
	int hl,hr,max;
	if(bt!=NULL)
	{
		hl=PostTreeDepth(bt->LChild);  /* 求左子树的深度 */
		hr=PostTreeDepth(bt->RChild);  /* 求右子树的深度 */
		max=hl>hr?hl:hr;              /* 得到左、右子树深度较大者*/
		return(max+1);               /* 返回树的深度 */
	}
	else return(0);             /* 如果是空树,则返回0 */
}
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5.按树状打印二叉树

void PrintTree(BiTree bt,int nLayer)  /* 按竖向树状打印的二叉树 */
{
	if(bt == NULL) return;
	PrintTree(bt->RChild,nLayer+1);
	for(int i=0;i<nLayer;i++)
		printf("  ");
	printf("%c\n",bt->data);
	PrintTree(bt->LChild,nLayer+1);
}
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六、线索二叉树

1.基本概念

  • 前驱和后继:在二叉树先序、中序、后序、层次遍历之后得到的序列,前一个是前驱,后一个是后继。就像排队一样,排在我前面的叫做我的前驱,排在我后面的叫做后继。思考一下:什么时候是没有前驱和后继的?
  • 线索:指向前驱或后继结点的一个指针
  • 线索化:对二叉树进行某种遍历,使之变成线索二叉树的一个过程
  • 线索二叉树:加上线索的一个二叉链表

2.基本结构

  • 孩子指针域:LChild指向左孩子,RChild指向右孩子
  • 标志域Ltag:Ltag==1,表示LChild指向左孩子,Ltag==0则表示LChild指向前驱
  • 标志域Rtag:Rtag==1,表示RChild指向左孩子,Rtag==0则表示RChild指向前驱
  • 选择题表示结点p为叶子结点的是:p->Ltag==1&&p->Rtag==1

3.结构体

typedef  struct node
{    int  data;
     int ltag, rtag;
     struct node *lchild, *rchild;
}JD;
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4.建立中序线索化二叉树

动态图:

这个动态演示图有点长,其实只要看懂前面两个建立的过程之后,后面的也自然而然理解了。不要求熟练掌握,但要对这个过程要熟悉一下。

算法讲解:

  • LTag=0, LChild指向根结点
  • RTag=1, RChild指向遍历序列中最后一个结点(这个性质常常用来考填空题,要牢记啊!)
  • 遍历序列中第一个结点的LChild域和最后一个结点的RChild域都指向根结点

代码:

void  Inthread(BiTree root)
/* 对root所指的二叉树进行中序线索化,其中pre始终指向刚访问过的结点,其初值为NULL*/
{
	if (root!=NULL)
	{ 
		Inthread(root->LChild);  /* 线索化左子树 */
		if (root->LChild==NULL)
		{
			root->Ltag=1; 
			root->LChild=pre;  /*置前驱线索 */
		}
		if (pre!=NULL&& pre->RChild==NULL)  /* 置后继线索 */
		{
			pre->RChild=root;
			pre->Rtag=1;
		}
	        pre=root;
	       Inthread(root->RChild);  /*线索化右子树*/
	}
}
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七、树和二叉树转换

1.树 -> 二叉树

树到二叉树.gif

讲解

  • 连接所有兄弟结点
  • 对树中的每一个结点,只保留与第一个结点的连线,其它删除
  • 整棵树顺时针旋转90度

2.二叉树 -> 树

二叉树到树.gif

讲解

  • 将左孩子的右孩子、右孩子的右孩子......全部连接起来
  • 所有双亲结点删除与右孩子的连线
  • 调整一定的角度

3.森林 -> 二叉树

森林到二叉树.gif

讲解

  • 先将森林中每棵树转换成二叉树
  • 将二叉树根节点视为兄弟连接起来
  • 调整一定的角度

读到这里就全部结束了,其实说是全面总结,但一点都不全面(后面有时间再补充吧)。本意只是想通过这些动态演示图帮助大家更好的理解算法、那样学起来可能会轻松一点。

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