LeetCode 62.不同路径

「这是我参与2022首次更文挑战的第24天，活动详情查看：2022首次更文挑战」。

题目：给定一个m*n的网格，起点在左上角，终点在右下角，要求找出所有可能的从起点到终点的路径。

解题思路

刚好去年学过组合数学，还是我导师教的~~本题就是组合数学组合数的题目，机器人从起点到终点，必然需要走的格子数为m+n-2个，无非就是向下走和向右走，并且向下走和向右走的格子数是确定的，向下走个数为m-1，向右走个数为n-1，因此无论怎么走，其最终路径数为$C_{m+n-2}^{m-1}$，因此只需计算此阶乘式即可，代码如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m==1||n==1) return 1;
        return (int)(factorial(m+n-2) / factorial(m-1) / factorial(n-1));
    }

    public long factorial(int n){
        if(n==0) return 1;
        return n*factorial(n-1);
    }

上述代码无法通过，存在数的越界问题，可能是自己写的计算阶乘局限性比较大。既然直接计算阶乘不行，那么是否可以尝试换一个思路，如下阶乘：

$C_{m+n-2}^{m-1}$，其直接计算方式为$\frac{(m+n-2)!}{(m-1)!(n-1)!}$，首先需要计算$(m+n-2)!$之后还要计算$m-1$和$n-1$的阶乘，此时存在重复计算，实际上只需要计算从$m$开始到$m+n-2$的数相乘即可再除以$n-1$的阶乘，换种思路计算：

是否可以从$m$开始一直累加，累加到$m+n-2$，而$n$从$1$累加，累加到$n-1$，每次累加计算一部分，例如$\frac{52!}{10!42!}$， 首先计算42*43/1，以此类推，从而得到最终解，最终代码如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
        long result = 1;
        for(int x=m, y=1;y<n;x++, y++){
            result = result*x / y;
        }
        return (int)result;
    }

上述代码最终耗时0ms，击败百分之百Java提交用户，时间复杂度为$O(N)$，空间复杂度为$O(1)$。

最后

本题虽然是组合数学的一个知识点，但若想代码写出来则还需要更多的思考，比较亮眼的就是计算组合数的一种新的方式。