【算法】二分查找——BinarySearch
个人学习过程产物，希望能帮到大家。第一次写博客，欢迎大家指出错误和不足！
一、概述
二分查找又称折半查找，是一种能够大幅减少时间复杂度的查找方法，但是二分查找要求线性表必须使用顺序储存结构，而且表中元素按关键字有序排列。
在后续讨论中，我们假设有序表递增有序。
二分查找中使用的术语：
目标 Target —— 你要查找的值
索引 Index —— 你要查找的当前位置
左、右指示符 Left，Right —— 我们用来维持查找空间的指标
中间指示符 Mid —— 我们用来应用条件来确定我们应该向左查找还是向右查找的索引。
二、一个典型的二分查找
二分查找的过程为：
从表的中间记录middle开始，如果要查找的目标值target等于middle，则查找成功；如果target>middle，则说明应从middle的右侧寻找target，将left的值更改为middle+1；反之则从middle的左侧寻找，将right的值更改为middle-1。重复操作直至查找成功，或者当查找区间为空时查找失败。
C++代码如下：
class Solution {
public:
int Binary_Search(vector<int>& nums, int target) {
int left=0;
int right=nums.size()-1;
while(left<=right)//应注意这里是left<=right而不是left<right，因为查找区间还有最后一个节点，需要进一步比较。
{
int middle=left+(right-left)/2;//相当于(right+left)/2，这么写是为了防止溢出
if(nums[middle]<target){
left=middle+1;
}
else if(nums[middle]>target){
right=middle-1;
}
else {
return middle;
}
}
return -1;
}
时间复杂度为，空间复杂度为
三、习题与胡乱分析
题单来源主要是这本书：二分查找 - LeetBook - 力扣（LeetCode）全球极客挚爱的技术成长平台 (leetcode-cn.com)
它将二分查找与相关习题总结概括成了三种代码模板，对小白入门很友好。模板的组合不是一成不变的，做题时也不能一味套用。
但是和所有的算法学习一样，只有真正看懂别人的代码，并能够自己敲出来，才能说得上是学会了。
（偷懒的话就会像我一样被迫重开）
1. 猜数字
习题链接：374. 猜数字大小 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
猜数字游戏的规则如下：
- 每轮游戏，我都会从 1 到 n 随机选择一个数字。 请你猜选出的是哪个数字。
- 如果你猜错了，我会告诉你，你猜测的数字比我选出的数字是大了还是小了。
你可以通过调用一个预先定义好的接口 int guess(int num) 来获取猜测结果，返回值一共有 3 种可能的情况（-1，1 或 0）：
- -1：我选出的数字比你猜的数字小
pick < num - 1：我选出的数字比你猜的数字大
pick > num - 0：我选出的数字和你猜的数字一样。恭喜！你猜对了！
pick == num
返回我选出的数字。
示例 1：
输入： n = 10, pick = 6
输出： 6
示例 2：
输入： n = 1, pick = 1
输出： 1
示例 3：
输入： n = 2, pick = 1
输出： 1
示例 4：
输入： n = 2, pick = 2
输出： 2
提示：
- 1 <= n <=
- 1 <= pick <= n
典型的二分查找，比较简单。首先将left与right分别设定成1和n作为二分查找的初值，然后依据二分查找的基本步骤进行即可。
这道题是经典的二分查找，是很多使用二分法解题的题目的基础。
代码如下：
class Solution {
public:
int guessNumber(int n) {
int left=1;
int right=n;
int middle=1;
while(left<=right){
middle=left+(right-left)/2;
if(guess(middle)==1){left=middle+1;}
else if(guess(middle)==-1){right=middle-1;}
else if(guess(middle)==0){return middle;}
}
return middle;
}
};
2. Sqrt(x)
习题链接：69. Sqrt(x) - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 **舍去 **。
注意： 不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例 1：
输入： x = 4
输出： 2
示例 2：
输入： x = 8
输出： 2
解释： 8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
提示：
按照典型的二分查找来寻找最相近的根即可。但是要注意不能使用middle * middle > x或者与之类似的方式判断middle的大小，因为当数据较大时，这种写法会导致溢出。因此采用x/middle > middle或与之类似的方式进行比较。
（不过官方解答竟然是用long long的方式解决了溢出问题……学习了）
结束循环时返回的不是middle，这里我一开始没想到。不过具体返回的是哪一个值还是要看前面代码的。
解答如下：
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int left=1;
int right=x;
while(left<=right){
int middle=left+(right-middle)/2;
if(x/middle>middle){left=middle+1;}
else if(x/middle<middle){right=middle-1;}
else {return middle;}
}
return right;
}
};
我这里返回的是right。以输入为8为例，最后一次循环开始时，left与right都为3，循环依然可以进行。执行操作后，right=2而left=3，此时方才退出循环。
看题解，发现每个人的做法都不尽相同，常见的有下面这些区别
- 首先判断特殊值
- 循环条件不是
while(left<=right)，而是while(left<right)。 - 并不是
left=middle+1，而是left=middle，最后return left
对模板各个部分不同的修改导致了整体的不同。（个人胡乱理解）
3. 第一个错误的版本
习题链接：278. 第一个错误的版本 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
你是产品经理，目前正在带领一个团队开发新的产品。不幸的是，你的产品的最新版本没有通过质量检测。由于每个版本都是基于之前的版本开发的，所以错误的版本之后的所有版本都是错的。
假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。
你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。
示例 1：
输入： n = 5, bad = 4
输出： 4
解释：
调用 isBadVersion(3) -> false
调用 isBadVersion(5) -> true
调用 isBadVersion(4) -> true
所以，4 是第一个错误的版本。
示例 2：
输入： n = 1, bad = 1
输出： 1
提示：
依然是一个经典的二分查找，如果不是错误版本，那么就要在右侧区间继续查找，否则则在左侧。要注意修改循环、左右区间更改条件等。
第一次把分号放在括号外面提交好几次……最后对着题解写艰难过了。
第二次很快就写出来了，主要是考虑清楚条件防止死循环。
代码如下：
// The API isBadVersion is defined for you.
// bool isBadVersion(int version);
class Solution
{
public:
int firstBadVersion(int n)
{
int left = 1, right = n;
while (left < right)
{ //不能是<=，会死循环
int middle = left + (right - left) / 2;
if (isBadVersion(middle))
{
right = middle;
}
else
{
left = middle + 1;
}
}
return right;
}
};
4. 寻找峰值
习题链接：162. 寻找峰值 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。
给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。
你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。
你必须实现时间复杂度为 O(log n) **的算法来解决此问题。
示例 1：
输入： nums = [1,2,3,1]
输出： 2
解释： 3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。
示例 2：
输入： nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出： 1 或 5
解释： 你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。
提示：
- 对于所有有效的
i都有nums[i] != nums[i + 1]
根据罗尔中值定理，要判断是否为峰值应当看这个位置导数是否为0。那么在这道题中，如果一个数比右边位置的数大，就应该在左侧区间内继续查找，反之则在右边位置查找（但是不能同时和左右两边的数字比较，不然就会陷入不知道查找哪一边区间的尴尬境地）。
另外这道题还有一点不严谨，那就是没有明确数组两端点是否可以为峰值。根据测试用例，可以猜测出题人是认为两端点可以作为峰值的。
代码如下：
class Solution {
public:
int findPeakElement(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
if(n==1||nums[0]>nums[1]){
return 0;
}
if(nums[n-1]>nums[n-2]){
return n-1;
}
//排除几种特殊情况。
int left=-1,right=n;
while(left+1!=right){
int middle=left+(right-left)/2;
if(nums[middle]>nums[middle+1]){
right=middle;
}
else left=middle;
}
return right;
}
};
5. 找到K个最接近的元素
习题链接：658. 找到 K 个最接近的元素 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)
给定一个排序好的数组 arr ，两个整数 k 和 x ，从数组中找到最靠近 x（两数之差最小）的 k 个数。返回的结果必须要是按升序排好的。
整数 a 比整数 b 更接近 x 需要满足：
|a - x| < |b - x|或者|a - x| == |b - x|且a < b
示例 1：
输入： arr = [1,2,3,4,5], k = 4, x = 3
输出： [1,2,3,4]
示例 2：
输入： arr = [1,2,3,4,5], k = 4, x = -1
输出： [1,2,3,4]
提示：
1 <= k <= arr.length- 数组里的每个元素与
x的绝对值不超过
其实这道题最简单最高效的方法是滑动窗口法，这个方法在之后会总结成专题（或许吧（咕咕咕））
也可以采用二分法来解题。
代码如下：
class Solution {
public:
vector<int> findClosestElements(vector<int>& arr, int k, int x) {
int left=0,right=arr.size()-k;
while(left<right){
int middle=left+(right-left)/2;
if((x-arr[middle])>(arr[middle+k]-x)){//右边比左边更适合，所以选择右区间。
left=middle+1;
}
else{right=middle;}
}
return vector<int>(arr.begin()+left,arr.begin()+left+k);
}
};
四、小结与小尾巴
- 使用二分法解题可以使时间复杂度降至，可以完成一些算法的要求。
- 使用二分法拥有一个大概的框架，但是每一步具体的条件内容随着具体题目的要求而改变。
小尾巴
在写这篇总结时，我突然想到，怎么样才能更快地写出一个正确的二分查找呢？有没有什么分析方法？
于是我参考了这篇博客：如何写出正确的二分查找？——利用循环不变式理解二分查找及其变体的正确性以及构造方式 - 五岳 - 博客园 (cnblogs.com)
然后我找到了 《计算机算法设计分析习题解答》 中的习题2-2，可能参悟了这七个算法就能掌握写出正确二分查找的精髓了吧。
于是这里留一个小尾巴~
