AcWing 1929. 镜子田地

目录：算法日记

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题目描述

农夫约翰在屋子外面放了一些旧镜子，他的奶牛们像往常一样调皮地偷走了它们！

奶牛们将镜子放置在了一个矩形田地中，该田地可被划分为 $N×M$个方格区域。

在每个方格区域中，奶牛在其某对对角之间放置一个双面镜，因此，共有两种放法，一种为 / 放置（镜子连接方格左下角和右上角），另一种为 \ 放置（镜子连接方格左上角和右下角）。

一天晚上，奶牛贝茜将激光发射器带到了该田地中。

她站在田地外面，沿着田地的行或列水平或垂直照射光束，使光束反射一定数量的镜子。

由于镜子都是沿对角线摆放，因此经反射镜反射的水平光束最终将垂直传播，反之亦然。

贝茜想知道从田地之外射入的水平或垂直光束最多可以在田地中被反射多少次。

给定镜子田地的布局，请帮助贝茜计算这个数字。

输入格式

第一行包含 $N$ 和 $M$。

接下来 $N$ 行，每行包含 $M$ 个 / 或 \ 字符，表示田地中镜子的具体摆放方式。

输出格式

输出田地之外的水平或垂直光束能够被反射的最大次数。

如果可以无限反射，则输出 $−1$。

数据范围

$1≤N,M≤1000$

输入样例

3 3
/\
\\
//

输出样例

3

算法思路

为了方便描述，首先定义方向，如下图所示：

注意到数据范围$1≤N,M≤1000$，对二维数据来说需要实现线性时间复杂度。由题目可知，沿着田地的行或列水平或垂直照射光束，则对于每块田地，存在如下三种情况：

观察该图可以发现，镜子把每块田地切分为了两部分，且这两部分中光的轨迹不同。因此，我们如果将光线看作边，镜子切分出的两部分即为图的两个顶点。由于射出田地的边不能对镜子数产生贡献，基于顶点的度对顶点进行分类。

1. 蓝色光线：可作为图的起点，入度为1（光源），但出度为0，最多被反射一次；
2. 红色光线：可作为图的起点，入度为1（光源），出度为1；
3. 绿色光线：可作为图的中间顶点，入度为1，出度为1； 根据上述分类，最多的反射次数应是从(2)射入，在(3)处多次反射后射出。这里需要注意，由于起点的出度为1，中间顶点的入度为1且出度为1，且起点的入度为光源，因此该图为一对一的无环结构（如果有环必然有顶点的入度变为2，与题意矛盾），且每个顶点最多被遍历两遍（两个入射方向）。

• 当镜子摆放为\时：
• 当镜子摆放为/时：

遍历所有可能情况取最大值即可。

AC代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
string g[N];
//左上角(0, 0) 上 右 下 左
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0};
int dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int n, m;

int reflect(int x, int y, int pos) {
    if(x < 0 || x >= n || y < 0 || y >= m) return 0;
    if(g[x][y] == '/') pos ^= 1;
    else pos ^= 3;
    return reflect(x + dx[pos], y + dy[pos], pos) + 1;
}

int main() {
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0; i < n; ++i) cin>>g[i];
    
    int res = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        res = max(res, reflect(i, 0, 1));
        res = max(res, reflect(i, m - 1, 3));
    }
    for(int i = 0; i < m; ++i) {
        res = max(res, reflect(0, i, 2));
        res = max(res, reflect(n - 1, i, 0));
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}