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前言

大家好，这里是 Codeman 。这是本文的第二次修订，在前文的基础之上，这次我增加了很多公式的推导，从数学原理到代码实现，本文提供了一站式服务，希望能帮助读者从根上理解逻辑回归，一劳永逸地解决问题！

多次修订，只源于我精益求精的人生态度。写博客，我是认真的！如果你觉得本文确实对你有帮助，请点个赞支持我一下吧 🌹

正文

逻辑回归在社会和自然科学中应用非常广泛，它其实是一种统计学习方法，因为它的底层方法就是线性回归。它们不同的地方在于：线性回归适用于解决回归问题，而逻辑回归适用于解决分类问题。这是为什么呢？别急，看完本文你就懂了。因此，我们可以说逻辑回归是基于回归的伪回归算法！

在自然语言处理中，逻辑回归是用于分类的基线监督机器学习算法，它与神经网络也有非常密切的关系，神经网络可以被视为一系列堆叠在一起的逻辑回归分类器。

由于后文涉及到很多数学公式的推导，因此我们先做一个符号约定：

符号	含义
$𝑚$	训练集中样本的数量
$𝑛$	特征的数量
$𝑥$	特征/输入变量
$𝑦$	目标变量/输出变量
$(𝑥,𝑦)$	训练集中的样本
$(𝑥^{(𝑖)},𝑦^{(𝑖)})$	第 $𝑖$ 个观察样本
$𝑥_j^{(i)}$	第 $𝑖$ 个观察样本的第 $j$ 个特征
$ℎ$	学习算法的解决方案或函数，也称为假设（hypothesis）
$\widehat{𝑦}=ℎ(𝑥)$	预测值

我们先从线性回归开始讲起，一步一步地领略逻辑回归的全貌。

1.线性回归

线性回归是一种使用特征属性的线性组合来预测响应的方法。它的目标是找到一个线性函数，以尽可能准确地描述特征或自变量（$x$）与响应值（$y$）之间的关系，使得预测值与真实值之间的误差最小化。

1.1 数学定义

在数学上，线性回归要找的这个线性函数叫回归方程，其定义如下：

其中，$h(x^{(i)})$表示第 $i$ 个样本的预测响应值。$b_0$ 和 $b_1$ 是回归系数，分别代表回归线的 $y$ 轴截距和斜率。这种形式通常见于特征只有单个属性的时候，也就是一元线性回归，我们初高中所学的就是这种。

在机器学习中，通常每个样本都有 $n$ 个特征属性，每个特征 $x_i$ 都有一个对应的权值 $w_i$，此时我们需要的就是多元线性回归：

其中，$x_0=1$ 没有实义，只是为了方便写成矩阵的形式，$w_0$ 则等价于式 (1.1) 中的 $\beta_0$，把 $\beta_0$ 融入矩阵中，不仅为了看起来简洁，也是为了方便计算。

若损失函数采用平方和损失:

则代价函数定义如下：

损失函数(Loss Function)度量单样本预测的误差，代价函数(Cost Function)度量全部样本的平均误差。常用的代价函数有均方误差、均方根误差、平均绝对误差等。

损失函数的系数 1/2 是为了便于计算，使对平方项求导后的常数系数为 1。

我们的目标是要找到一组 $𝑤(𝑤_0,𝑤_1,𝑤_2,...,𝑤_𝑛)$，使得代价函数 $J(w)$ 最小，即最小化 $\frac{\partial {𝐽(𝑤)}}{\partial 𝑤}$。

下面我们将详细描述用最小二乘法求 $𝑤$ 的推导过程。

1.2 最小二乘法

为了方便叙述，我们将$J(w)$用矩阵形式表达，即：

其中，$𝑋$ 为 $𝑚$ 行 $𝑛+1$ 列的矩阵（第一列全为 $1$，即式 (1.2) 中的 $x_0$），$𝑤$ 为 $𝑛+1$ 行 $1$ 列的矩阵(包含了 $𝑤_0$ )，$𝑌$ 为 $𝑚$ 行 $1$ 列的矩阵。

对式 (1.5) 求导，可得：

又 $Y^TXw=(w^TX^TY)^T$，$\frac{𝑑𝑋^𝑇𝑋}{𝑑𝑋}=2𝑋$，所以

令$\frac{\partial {𝐽(𝑤)}}{\partial 𝑤}=0$，则：

由上式可知，最小二乘法需要计算$(𝑋^𝑇𝑋)^{−1}$，但是矩阵求逆的时间复杂度为 $𝑂(𝑛3)$，因此当特征数量 $𝑛$ 较大时，其运算代价非常大。所以这种方法只适用于特征数量较少的线性模型，不适用于其他模型。

现代机器学习中常用的参数更新方法是梯度下降法。

1.3 梯度下降法

根据梯度下降的每一步中用到的样本数量，可以将梯度下降法分为以下三类：

类别	样本数量	公式
批量梯度下降(Batch Gradient Descent,BGD)	所有	$w_{j}:=w_{j}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot x_{j}^{(i)}\right)$
随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent,SGD)	一个	$w_{j}:=w_{j}-\alpha\left(h\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) \cdot x_{j}^{(i)}$
小批量梯度下降(Mini-Batch Gradient Descent,MBGD)	部分	$w_{j}:=w_{j}-\alpha \frac{1}{b} \sum_{k=i}^{i+b-1}\left(h\left(x^{(k)}\right)-y^{(k)}\right) x_{j}^{(k)}$

其中，$\alpha$ 称为学习率。根据公式，不难看出，BGD 和 SGD 其实是 MBGD 的 $b$ 取值为 $m$ 和 $1$ 时的特殊情况。我们以 SGD 为例，推导一遍参数的更新过程。

又 $w_j=w_j-\alpha\frac{\partial}{\partial w_{j}} J(w)$，所以

1.4 回归的评价指标

监督学习主要分回归和分类两种，二者的评价指标是截然不同的。我们先在此介绍回归的评价指标。

首先是误差要越小越好，主要是下面几种：

指标	公式
均方误差（Mean Square Error,MSE）	$MSE=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}$
均方根误差（Root Mean Square Error,RMSE）	$RMSE(y, \widehat{y})=\sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}}$
平均绝对误差（Mean Absolute Error,MAE）	$MAE(y, \widehat{y})=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{n}\|y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\|$

其次是 $R^2$ 要越大越好，它越接近于 1，说明模型拟合得越好。计算公式如下：

其中，$SSR=\sum_{i=0}^{m}\left(\widehat{y}^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}$,$SSE=\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\widehat{y}^{(i)}\right)^{2}$,$SST=\sum_{i=0}^{m}\left(y^{(i)}-\bar{y}\right)^{2}$。

SST 是 Sum of Squares Total 的缩写，含义是总平方和。它是变量 $y$ 与其平均值 $\bar{y}$ 之差的平方和。我们可以将其视为对于变量 $y$ 在其平均值 $\bar{y}$ 周围的分散程度的一种度量，很像描述性统计中的方差。

SSR 是 Sum of Squares Regression 的缩写，含义是回归的平方和。它是预测值 $\widehat{y}$ 与平均值 $\bar{y}$ 之差的平方和。我们可以将其视为描述回归线与数据的拟合程度的一种度量。

SSE 是 Sum of Squares Error 的缩写，含义是误差的平方和。它是预测值 $\widehat{y}$ 与观测值 $y$ 之差的平方和。

从图中不难看出，三者的关系是：SST = SSR + SSE。如果 SSR 的值等于 SST，这意味着我们的回归模型是完美的。

2.逻辑回归

我们前面说过，逻辑回归和线性回归不同的地方在于：线性回归适用于解决回归问题，而逻辑回归适用于解决分类问题。本节我们就讲讲造成这种差异的原因。

2.1 Sigmoid函数

我们知道逻辑回归的目标是训练一个分类器，该分类器可以对输入数据的类别做出决策。以二元逻辑回归为例，对于一个输入 $x(x_1,x_2,...,x_n)$，我们希望分类器能够输出 $y$ 是 1（是某类的成员）或 0（不是某类的成员）。也就是说，我们想知道这个输入 $x$ 是该类成员的概率 $P(y = 1|x)$。

我们知道逻辑回归的底层就是线性回归，但是线性回归解决的是回归问题，那我们如何将一个回归问题转化为一个分类问题呢？为了方便讨论，我们再对式 (1.2) 做一点形式变换，即令

有些地方写的是 $z=𝑤^𝑇𝑥+𝑏$，其实是一样的，因为 $b$ 可以融入到 $w_0$ 中。

我们观察式 (2.1)，不难发现，$z$ 的输出范围没有任何限制，即 $(-∞, +∞)$。而作为一个分类器，我们需要输出的是位于 0 和 1 之间的合法概率值。而为了完成这一步转变，我们就需要 Sigmoid函数 $σ(z)$。Sigmoid 函数（命名是因为它的图像呈𝑆形）也称为逻辑函数，逻辑回归的名称也由此而来。

Sigmoid 有许多优点，它能将任意实数映射到 $[0,1]$ 范围内，而且任意阶可导。它在 0 附近几乎是线性的，但在两端趋于平缓，它能将异常值压向 0 或 1。

我们将式 (2.1) 的值代入上式，就能得到一个介于 0 和 1 之间的概率。对于一个二元逻辑回归，我们只需要确保 $P(y = 1)+P(y = 0)=1$ 即可。我们可以这样做：

根据 Sigmoid 函数的性质：

我们也可以将 $P(y = 0)$ 表示为 $σ(−z)$。

好了，现在我们已经有了概率值，那么概率值大于多少我们认为它是属于 1 类呢？通常，如果概率 $P(y = 1|x)$ 大于 $0.5$，我们认为是，否则就不是。这个 0.5 被称为决策边界。

总结：逻辑回归的总体思路就是，先用逻辑函数把线性回归的结果 (-∞,∞) 映射到 (0,1)，再通过决策边界建立与分类的概率联系。

逻辑函数还有一个很好的特性就是，其导函数可以转化成本身的一个表达式，推导过程如下：

在二分类模型中，事件发生与不发生的概率之比 $\frac{𝑝}{1−𝑝}$ 称为事件的几率（odds）。令$\sigma(z)=p$，解得：

也就是说，线性回归的结果（即 $z$ ）等于对数几率。

2.2 代价函数

下面我们讲讲模型的参数如何更新。我们使用极大似然估计法来求解。极大似然估计法利用已知样本结果，反推最有可能导致这样结果的原因。我们的目标就是找到一组参数，使得在这组参数下，我们的样本的似然度（概率）最大。

对于一个二分类模型，已知 $P(y=1)=\sigma(z),P(y=0)=1-\sigma(z)$, 则似然函数为：

等式两边同时取对数：

则代价函数为：

其实，式（2.9）前面再加一个负号，就是我们常用的损失函数——交叉熵损失（cross-entropy loss）。

代价函数之所以要加负号，是因为机器学习的目标是最小化损失函数，而极大似然估计法的目标是最大化似然函数。那么加个负号，正好使二者等价。

2.3 梯度下降法求解

求解逻辑回归的方法有非常多，我们这里主要了解一下梯度下降法。

将式 (2.2) 代入式 (2.10)，得：

对 $J(w)$ 求偏导，得：

所以：

2.4 逻辑回归的分类

逻辑回归对特征变量（x）和分类响应变量（y）之间的关系进行建模，在给定一组预测变量的情况下，它能给出落入特定类别响应水平的概率。也就是说，你给它一组数据（特征），它告诉你这组数据属于某一类别的概率。根据分类响应变量（y）的性质，我们可以将逻辑回归分为三类：

• 二元逻辑回归（Binary Logistic Regression） 当分类结果只有两种可能的时候，我们就称为二元逻辑回归。例如，考试通过或未通过，回答是或否，血压高或低。
• 名义逻辑回归（Nominal Logistic Regression） 当存在三个或更多类别且类别之间没有自然排序时，我们就称为名义逻辑回归。例如，企业的部门有策划、销售、人力资源等，颜色有黑色、红色、蓝色、橙色等。
• 序数逻辑回归（Ordinal Logistic Regression） 当存在三个或更多类别且类别之间有自然排序时，我们就称为序数逻辑回归。例如，评价有好、中、差，身材有偏胖、中等、偏瘦。注意，类别的排名不一定意味着它们之间的间隔相等。

2.5 Softmax Regression

我们以上讨论都是以二元分类为前提展开的，但有时可能有两个以上的类，例如情绪分类有正面、负面或中性三种，手写数字识别有 0-9 总共十种分类。

在这种情况下，我们需要多元逻辑回归，也称为 Softmax Regression。在多元逻辑回归中，我们假设总共有 $K$ 个类，每个输入 $x$ 只能属于一个类。也就是说，每个输入 $x$ 的输出 $y$ 将是一个长度为 $K$ 的向量。如果类 $c$ 是正确的类，则设置$\mathbf{y}_c=1$，其他元素设置为 0，即$\mathbf{y}_{c}=1，\mathbf{y}_{j}=0\quad\forall j \neq c$。这种编码方式称为 one-hot 编码。此时，分类器的工作是产生一个估计向量。对于每个类 $k$，产生一个概率估计 $P(y_k = 1|x)$。

多元逻辑分类器采用 sigmoid 的泛化函数 softmax 来计算 $P(y_k = 1|x)$。它能将 $K$ 个任意值的向量 $z = [z_1,z_2,\dots,z_K]$ 映射到 (0,1) 范围内的概率分布上，并且所有值的总和为 1 。其定义如下：

因此，输入向量 $z = [z_1,z_2,\dots,z_K]$ 的 softmax输出如下：

举个例子，若 $\mathbf{z}=[0.6,1.1,-1.5,1.2,3.2,-1.1]$，则

与 sigmoid 一样，softmax 也具有将异常值压向 0 或 1 的特性。因此，如果其中一个输入远大于其他输入，它将倾向于将其概率推向 1，并抑制较小输入的概率。

由于现在有 $K$ 个类别，而且每一个类别都有一个单独的权重向量 $w_k$，则每个输出类别的概率估计 $\widehat{y_k}$ 应该这样计算：

上式看起来我们将分别每个类别计算输出。但是，我们可以将 $K$ 个权重向量表示为权重矩阵 $W$。$W$ 的第 $k$ 列对应于权重向量 $w_k$。因此，$W$ 的形状为 $[(n+1) \times K]$，其中，$K$ 是输出类的数量，$n$ 是输入特征的数量，加 $1$ 对应的就是偏置。这样一来，我们还是可以通过一个优雅的公式计算 $\widehat{y}$：

3. 代码实现（Pytorch）

class LogisticRegression(torch.nn.Module):

    def __init__(self, num_features):
        super(LogisticRegression, self).__init__() #调用父类的构造函数
        self.linear = torch.nn.Linear(num_features, 1)
        
        self.linear.weight.detach().zero_() #权值初始化为0
        self.linear.bias.detach().zero_() #偏置初始化为0
        
    def forward(self, x):
        logits = self.linear(x)
        probas = torch.sigmoid(logits)
        return probas

在 Pytorch 中可以通过继承torch.nn.Module类来实现自定义模型，在__init__中定义每一层的构造，在forward中定义每一层的连接关系，是实现模型功能的核心，且必须重写，否则模型将由于无法找到各层的连接关系而无法执行。

torch.nn.Linear对传入的数据做线性变换，weight 和 bias 是它的两个变量，分别代表学习的权值和偏置。

4. 鸢尾花分类

我们以鸢尾花数据的分类为例，做一个简单地用 Logistic 回归进行分类的任务。

• 数据集获取与划分

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from io import BytesIO

import torch
import torch.nn.functional as F

ds = np.lib.DataSource()
fp = ds.open('http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data')

x = np.genfromtxt(BytesIO(fp.read().encode()), delimiter=',', usecols=range(2), max_rows=100)
y = np.zeros(100)
y[50:] = 1

np.random.seed(1)
idx = np.arange(y.shape[0])
np.random.shuffle(idx)
X_test, y_test = x[idx[:25]], y[idx[:25]]
X_train, y_train = x[idx[25:]], y[idx[25:]]
mu, std = np.mean(X_train, axis=0), np.std(X_train, axis=0)
X_train, X_test = (X_train - mu) / std, (X_test - mu) / std

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(7, 2.5))
ax[0].scatter(X_train[y_train == 1, 0], X_train[y_train == 1, 1])
ax[0].scatter(X_train[y_train == 0, 0], X_train[y_train == 0, 1])
ax[1].scatter(X_test[y_test == 1, 0], X_test[y_test == 1, 1])
ax[1].scatter(X_test[y_test == 0, 0], X_test[y_test == 0, 1])
plt.show()

实际的数据共有152行，我们只取前100行。按照下标随机打乱之后来划分训练集和测试集。其中，训练集有75行，测试集有25行。

• 模型训练

model = LogisticRegression(num_features=2).to(device)
cost_fn = torch.nn.BCELoss(reduction='sum')
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)

def custom_where(cond, x_1, x_2):
    return (cond * x_1) + ((1-cond) * x_2)
    
def comp_accuracy(label_var, pred_probas):
    pred_labels = custom_where((pred_probas > 0.5).float(), 1, 0).view(-1)
    acc = torch.sum(pred_labels == label_var.view(-1)).float() / label_var.size(0)
    return acc


num_epochs = 10

X_train_tensor = torch.tensor(X_train, dtype=torch.float32, device=device)
y_train_tensor = torch.tensor(y_train, dtype=torch.float32, device=device).view(-1, 1)


for epoch in range(num_epochs):
    
    #### Compute outputs ####
    out = model(X_train_tensor)
    
    #### Compute gradients ####
    cost = cost_fn(out, y_train_tensor)
    optimizer.zero_grad()
    cost.backward()
    
    #### Update weights ####  
    optimizer.step()
    
    #### Logging ####      
    pred_probas = model(X_train_tensor)
    acc = comp_accuracy(y_train_tensor, pred_probas)
    print('Epoch: %03d' % (epoch + 1), end="")
    print(' | Train ACC: %.3f' % acc, end="")
    print(' | Cost: %.3f' % cost_fn(pred_probas, y_train_tensor))


    
print('\nModel parameters:')
print('  Weights: %s' % model.linear.weight)
print('  Bias: %s' % model.linear.bias)

BCELoss计算目标值和预测值之间的二进制交叉熵损失函数，数学公式如下：

其中，$w$、$y$、$y'$ 分别表示权值、标签（target）、预测概率值（input probabilities）。reduction取值为sum表明对样本的损失值进行求和。

输出如下：

Epoch: 001 | Train ACC: 0.987 | Cost: 5.581
Epoch: 002 | Train ACC: 0.987 | Cost: 4.882
Epoch: 003 | Train ACC: 1.000 | Cost: 4.381
Epoch: 004 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.998
Epoch: 005 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.693
Epoch: 006 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.443
Epoch: 007 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.232
Epoch: 008 | Train ACC: 1.000 | Cost: 3.052
Epoch: 009 | Train ACC: 1.000 | Cost: 2.896
Epoch: 010 | Train ACC: 1.000 | Cost: 2.758

Model parameters:
  Weights: Parameter containing:
tensor([[ 4.2267, -2.9613]], requires_grad=True)
  Bias: Parameter containing:
tensor([0.0994], requires_grad=True)

• 模型评估

X_test_tensor = torch.tensor(X_test, dtype=torch.float32, device=device)
y_test_tensor = torch.tensor(y_test, dtype=torch.float32, device=device)

pred_probas = model(X_test_tensor)
test_acc = comp_accuracy(y_test_tensor, pred_probas)

print('Test set accuracy: %.2f%%' % (test_acc*100))

输出如下：

Test set accuracy: 100.00%

结语

一个非常基础的入门级的机器学习算法，但是要完全讲透还是非常困难，尤其是公式的推导部分，光用文字描述很难讲清楚，但是总体上公式的推导都没问题，只是说第一眼看不是那么容易懂，多看几遍或者自己在纸上写一写还是不难理解的。另外，也请读者发现错误后能在评论区指出，我看到后会及时更正。

全文写下来洋洋洒洒六千字，也花费了好几天的时间，从自己理解到写出来让别人看懂，这之间差别真的很大，可能也是我不善于表达，词不达意，也请大家见谅。

篇幅这么长，公式这么多，看完本文你可能什么也记不住，但是这两点你一定要记住：

1. Logistic回归不适用于解决回归问题，它适用于解决分类问题。千万不要被它的名称迷惑！

2. Logistic回归 = 线性回归 + Sigmoid 函数。当然了，如果是多元回归的话就是 softmax 函数。

例行公事😂：如果你觉得本文确实对你有帮助，请点个赞支持我一下吧 🌹