LeetCode 2029. 石子游戏 IX

目录：算法日记

原题链接：2029. 石子游戏 IX - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

题目描述

Alice 和 Bob 再次设计了一款新的石子游戏。现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值。给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。

Alice 和 Bob 轮流进行自己的回合，Alice 先手。每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。

如果玩家移除石子后，导致所有已移除石子的价值总和可以被 3 整除，那么该玩家就输掉游戏。
如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 Bob 将会直接获胜（即便是在 Alice 的回合）。假设两位玩家均采用最佳决策。如果 Alice 获胜，返回 true ；如果 Bob 获胜，返回 false 。

数据范围

$1 <= stones.length <= 10^5$
$1 <= stones[i] <= 10^4$

题目示例

输入：stones = [5,1,2,4,3]
输出：false
解释：Bob 总会获胜。其中一种可能的游戏进行方式如下：
- 回合 1：Alice 可以移除值为 1 的第 2 个石子。已移除石子值总和为 1 。
- 回合 2：Bob 可以移除值为 3 的第 5 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 = 4 。
- 回合 3：Alices 可以移除值为 4 的第 4 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 = 8 。
- 回合 4：Bob 可以移除值为 2 的第 3 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 = 10.
- 回合 5：Alice 可以移除值为 5 的第 1 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 + 5 = 15.
Alice 输掉游戏，因为已移除石子值总和（15）可以被 3 整除，Bob 获胜。

算法思路

题目叙述比较冗杂，先翻译一下题目。当移除石子价值总和为3的倍数时，移除失败。

Alice获胜条件：Bob移除失败；
Alice失败条件：Alice移除失败，或平局；题目中的主要限制条件是石子价值总和为3的倍数，首先利用这点对题目数据进行取余化简，当状态为3（即石子价值总和为3的整数倍）时，移除失败。可将数据分为三类：
状态为0：表示3的整数倍；
状态为1：表示3的整数倍+1；
状态为2：表示3的整数倍+2； 状态间切换如图所示： 上图反应了一组核心性质：
当前状态为1时，后手只能选择1使得状态变为2，否则产生3的倍数；
- 对应序列： $112121212...$ （ $12$ 循环节和为 $3$ ，可消去）；
当前状态为2时，后手只能选择2使得状态变为1，否则产生3的倍数。
- 对应序列： $221212121...$ （ $21$ 循环节和为 $3$ ，可消去）；
状态0可以放在序列中的任意非首位，且不影响当前状态，相当于当前回合空过；状态1与状态2之间转换固定，因此从状态0入手，分情况讨论：
当状态0个数为偶数时
- 状态0可以被Alice和Bob平分，不影响最终结果，因此可无视状态0；
- 状态1个数为0，或状态2个数为0：
  - $111...$ Alice输；
  - $222...$ Alice输；
  - 平局Alice输；
- 状态1个数和状态2个数均不为0：
  - 数量相等，Alice先手，最终结束状态为 $12$ 或 $21$ ，Alice赢；
  - 数量不等，Alice先手拿少的，最终结束状态为 $12$ 或 $21$ ，Alice赢；
当状态0个数为奇数时
- 奇数相当于可以有一次空过的机会；
- 设Alice维持当前状态必赢，则Bob必然空过：
  - 当前状态为1，Bob空过，后续Alice选择应为1，还有1时，Alice赢；
  - 当前状态为2，Bob空过，后续Alice选择应为2，还有2时，Alice赢；
  - Bob若不选择空过，Alice可使用空过，Alice赢；
- 状态1的数量比状态2的数量多3及以上，或状态2的数量比状态1的数量多3及以上，Alice赢；

AC代码

/**
 * @param {number[]} stones
 * @return {boolean}
 */
var stoneGameIX = function(stones) {
    let dic = [0, 0, 0];
    for(let stone of stones) dic[stone % 3] += 1;
    if(dic[0] % 2 === 0) return dic[1] !== 0 && dic[2] !== 0;
    else return dic[2] > dic[1] + 2 || dic[1] > dic[2] + 2;
};