随机取样已死,蓄水池抽样称王

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随机取样已死,蓄水池抽样称王
  • 👏作者简介:大家好,我是爱敲代码的小黄,独角兽企业的Java开发工程师
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  • 📕系列专栏:Java设计模式、数据结构和算法
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一、引言

最近小黄的朋友去一家业内有名的游戏公司(有兴趣的读者可以猜猜)面试,出了一道经典的题目:目前游戏需进行一项签到抽奖的活动,怎么保证每个人抽到奖品的概率都是相等的,保证最终中奖的人数为10人

小黄的朋友计算出 签到的总人数,使用随机函数 Random 获取 中奖的人,依次类推,最终求出 10个中奖的人

但面试官并不满意该做法,提出了几个条件:

  • 签到的人数 N 很大且不可知
  • 随机选取 10 个人,每个人被选中的概率为 10/N
  • 时间复杂度为 O(N)

小黄朋友瞬间有点懵了,不知所措,聊了聊其他的,潦草的结束了这场面试

朋友找小黄聊了聊,最终发现面试官想考察的是:蓄水池抽样算法(Reservoir Sampling)

有精力的读者可以事先看一下这几道 模板 题:

二、蓄水池抽样算法

由人数 N 不可知、每个人选中的概率为 10/N、时间复杂度为 O(N) 这几个条件我们可以得知:我们的算法肯定是遍历一次,每个人选中的概率随着签到人数的增加,逐渐变小,但每个人选中的概率一样

比如 num 代表我们逐渐增长的人数:for(int num = 1; num <= 100; num++)

  • num = 10 时,我们每个人数选取的概率为 10/10
  • num = 50 时,我们每个人数选取的概率为 10/50
  • num = 100 时,我们每个人数选取的概率为 10/100

我们可以看到,随着人数动态的增加,我们的概率也变的不同,如果我们单纯的使用上面 Random 的算法,对于动态的调整我们没有办法

下面,我们一起来领略一下 蓄水池抽样算法 的奥妙所在

1. 思路

我们总体的水池如下: 在这里插入图片描述

当前的 num <= 10 时,我们直接让其入水池 在这里插入图片描述

当前的 num > 10 时我们在 1~num 进行随机

  • 如果随机的结果小于等于10,则替换该水池
  • 如果随机的结果大于10,则不做操作

假设当前的值为 12,我们使用 random.nextInt(12) + 1 得到 1~12 的随机值

  • 假如随机值为 5,则 12 将替换池中下标为 5 的数 在这里插入图片描述

  • 假如随机值为 11,则不做操作 在这里插入图片描述

最终蓄水池中的数字即为签到中奖的人数

到这一步,我相信 80% 的人会懵,没关系,我也是这样过来的

让我们一起来下面的证明

2. 证明

我们假设当前的 num30,那么每一个值被选中的概率为 10/30

首先,我们证明 3 的概率:

  • 对于 3 来说,入水池概率: 100%100,出水池的概率 = 被替换的概率(也就是 num > 10
    • 11 能够替换 3 的概率:(10 / 11) * (1 / 10) = (1 / 11)(替换水池的概率 * 随机水池为 3 的概率)
    • 12 能够替换 3 的概率:(10 / 12) * (1 / 10) = (1 / 12)
    • ....
  • 我们反过来想一下,那么我们 3 不出水池的概率为多少呢?
    • (3)进水池的概率 * (3)不出水池的概率
    • 1 * (10 / 11) * (11 / 12) * (12 / 13) * ... (29 / 30) = (10 / 30)
    • 符合我们最后的结果

最后,我们证明 17 的概率:

  • 对于 17 来说,入水池概率:10 / 17,出水池的概率 = 被替换的概率(也就是 num > 17
    • 18 能够替换 17 的概率:(10 / 18) * (1 / 10) = (1 / 18)(替换水池的概率 * 随机水池为 17 的概率)
    • 19 能够替换 17 的概率:(10 / 19) * (1 / 10) = (1 / 19)
    • ....
  • 我们反过来想一想,那么我们 17 不出水池的概率为多少呢?
    • (17)进水池的概率 * (17)不出水池的概率
    • (10 / 17) * (17 / 18) * (18 / 19) * (19 / 20) * ... (29 / 30) = (10 / 30)
    • 符合我们最后的结果

3. 代码

public class _蓄水池算法 {
    static Random random = new Random();
    public static void main(String[] args) {
    	// 10000组测试
        int test = 10000;
        // 人数为100人
        int dataBase = 100;
        // 记录每次出现的频率
        int[] count = new int[101];
        for (int i = 0; i < test; i++) {
        	// 蓄水池
            int[] bag = new int[10];
            // 蓄水池下标
            int bagIndex = 0;
            for (int num = 1; num <= dataBase; num++) {
                // 如果小于10,直接入池
                if (num <= 10) {
                    bag[bagIndex++] = num;
                } else {
                    // 如果大于10,则以 10 / i 的概率观察是否可以入池
                    // 如果小于等于10,则证明可以入池
                    if (getNum(num) <= 10) {
                        // 随机淘汰池里面的一个数
                        int index = random.nextInt(10);
                        bag[index] = num;
                    }
                }
            }
            // 记录当前出现的频率
            for (int num : bag) {
                count[num]++;
            }
        }
		// 输出、验证我们的随机率
        for (int i = 0; i < count.length; i++) {
            System.out.println(count[i]);
        }
    }

	// 返回[1,i]的数
    public static int getNum(int i) {
        return random.nextInt(i) + 1;
    }
}
复制代码

测试结果:我们发现出现的频率基本相等

999
1009
967
1050
981
996
996
950
971
998
1005
1032
974
982
1007
1029
1026
1045
复制代码

三、例题练习

俗话说的好,一看就会,一做就废,验证你成果的时候到了

力扣模板题目:

基本就是模板题,直接套上面的公式即可

在这里插入图片描述

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在这里插入图片描述

你的关注可能使我距离成功的顶峰更近一步,一起努力学习,努力成长。

四、总结

基本蓄水池抽样算法到这里就结束了

在工程上主要应用于 抽奖系统,这里可能有人会疑问,我直接等抽奖完毕,然后计算总人数,不也能达到一样的效果嘛。从效果来看,没什么区别性。

但是,工程和理想最大的区别就是:工程可能由于一系列的外在因素影响正常流程的运行

比如,原本我计划在 2022.1.8~2022.1.10 进行为期2天的抽奖,开奖时间设置在 2022.1.11,如果服务器宕机,导致数据丢失,怎么保证最终的总人数。而我们的 蓄水池抽样算法 则是会一直更新中奖的人数。

当你遇到这类面试题时,直接三步走:原理 -> 证明 -> 代码,一波带走面试官

这期的蓄水池算法到这里就结束了,下一期一定会讲述计算机网络相关知识,提前透漏一下,计算机网络的八股题主也颇有研究。

我是一名独角兽企业的Java开发工程师,希望可以点个关注呀,有问题可以留言或者私信加我微信,我们下期再见!

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