浅谈递归回溯DFS和BFS

前言

我们在解题的过程中经常遇到各种题型的分类，其中有几类是经常交替出现或者同时出现的

递归
回溯
DFS
BFS

在网上查找相关的概念解释文章会发现，似乎没有一个统一明确的说法。而本篇文章主要用于记述自己对于它们的理解与总结，也许有些地方和大神们理解的有出入，切莫见怪。

递归（Recursion）

递归（英語：Recursion），又译为递回，在数学与计算机科学中，是指在函数的定义中使用函数自身的方法。

简单理解，递归就是在函数中调用自身。

我们经常使用递归将复杂的问题分解为简单的问题，来看个简单的例子斐波那契数列。

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。

const F = (n) => {
  // 结束条件
  if (n === 0) return 0
  if (n === 1) return 1

  // 调用自身
  return F(n - 1) + F(n - 2) 
}

我们以F(4)为例，看看是如何将复杂问题分解为简单问题的。

可以看到递归会出现大量重复的计算，例如在上面的例子中，F(2)被调用了2次，而F(1)被调用了3次。所以说，递归的效率其实比较低，存在大量重复计算。当然，我们可以通过额外数组或对象来保存已经求解的F(n)，可以大大减少重复计算。

DFS（Depth-First-Search）

深度优先搜索算法（英语：Depth-First-Search，DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。这个算法会尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。

简单地说，DFS属于一种遍历算法，不同于一维数组的从左至右遍历，DFS主要用于遍历多维数据结构如树，图。而且DFS在遍历时遇到多个子节点，会递归遍历其中一个，直到叶子节点为止，可以称之为一种不撞南墙不回头的方式。

DFS和递归的关系为：DFS一般是通过递归来实现的。（DFS也可以通过栈结构实现）

我们通过个二叉树的例子来理解。

const tree = {
  data: 'A',
  left: {
    data: 'B',
    left: {
      data: 'D',
    },
    right: {
      data: 'E'
    }
  },
  right: {
    data: 'C'
  }
}

const DFS = (node) => {
  // 处理当前节点
  console.log(node.data)

  // 递归遍历左右子树
  // 在递归的过程中先搜索左子树，搜索左子树中又会先搜索左子树的左子树，形成深度优先搜索
  if (node.left) DFS(node.left)
  if (node.right) DFS(node.right)
}

DFS(tree) // A B D E C

我们通过图片来还原下我们的遍历过程

屏幕快照 2022-01-15 下午12.51.29.png

在上面二叉树的遍历中，我们使用绿色来标记当前搜索路径，可以发现DFS总是先往深处遍历直到叶子节点为止，所以最先的遍历路径为A -> B -> D。当搜索到叶子节点时会回退到上级节点继续寻找未遍历的子节点，在例子中是E，所以第二条搜索路径为A -> B -> E。

当然 A -> B路径为之前遍历的节点，不会重复遍历它们。所以最后的输出顺序为A -> B -> D -> E -> C。

BFS（Depth-First-Search）

广度优先搜索算法（英语：Breadth-First Search，缩写为BFS），又译作宽度优先搜索，或横向优先搜索，是一种图形搜索算法。简单的说，BFS是从根节点开始，沿着树的宽度遍历树的节点。

简单地说，BFS和DFS一样，用于遍历多维数据结构树和图。BFS和DFS的区别在于，BFS是对数据进行分层搜索，先处理本层所有节点，再往下处理下一层节点。

BFS和DFS都是用于对多维数据树和图的搜索，两者的区别在于遍历的顺序不同，DFS属于不撞南墙不回头，BFS则是层层递进。

BFS与递归的关系：可以通过递归实现BFS，也可以不使用递归实现BFS。（BFS可以通过队列实现）

我们继续通过上面的二叉树例子来理解

const tree = {
  data: 'A',
  left: {
    data: 'B',
    left: {
      data: 'D',
    },
    right: {
      data: 'E'
    }
  },
  right: {
    data: 'C'
  }
}

const BFS = (nodes) => {
  // 出口
  if (!nodes.length) return

  const next = []

  // 遍历搜索本层数据
  for (let i = 0; i < nodes.length; i++) {
    const node = nodes[i]
    
    // 处理节点
    console.log(node.data)

    // 收集下层数据
    if (node.left) next.push(node.left)
    if (node.right) next.push(node.right)
  }

  // 递归调用遍历下层数据
  BFS(next)
}

BFS([tree])

我们通过图片来还原遍历过程

屏幕快照 2022-01-15 下午2.29.11.png

首先搜索第一层，也就是根节点A，然后再搜索第二层B -> C，最后搜索第三层D -> E。所以输出顺序为 A -> B -> C -> D -> E。

这边再给大家看看非递归实现BFS的方式。

const tree = {
  data: 'A',
  left: {
    data: 'B',
    left: {
      data: 'D',
    },
    right: {
      data: 'E'
    }
  },
  right: {
    data: 'C'
  }
}

const BFS = () => {
  // 借助队列先进先出
  const queue = [tree]

  // 遍历队列
  while(queue.length) {
    // 弹出首节点
    const node = queue.shift()

    // 处理首节点
    console.log(node.data)

    // 往队尾添加左右子节点
    if (node.left) queue.push(node.left)
    if (node.right) queue.push(node.right)
  }
}

BFS([tree])

BFS和DFS对比

我们在上面已经说过两者的差异主要在于遍历顺序的区别，我们这边主要来说说其遍历实现中借助的数据结构有何区别。

先说结论

BFS 借助队列实现
DFS 借助栈实现

屏幕快照 2022-01-15 下午12.51.29.png

我们先来看看DFS，从图中可以看出，在遍历的过程中，通过 A -> B -> D，之后推出 D 再搜索 E。再依次推出 E，B 再推入 C。在这样一个往末尾推入推出的过程实际就是操作栈的方式，后进先出。

其中的栈是通过函数的递归调用及函数执行结束形成的

屏幕快照 2022-01-15 下午2.29.11.png

BFS的第二种实现方式很好地解释了BFS是借助队列模式实现的，其操作方式为先进先出。第一种实现方式同理为队列的实现，在此就不多说了。

回溯（backtracking）

回溯法（英语：backtracking）是暴力搜索法中的一种。回溯法采用试错的思想，它尝试分步的去解决一个问题。在分步解决问题的过程中，当它通过尝试发现，现有的分步答案不能得到有效的正确的解答的时候，它将取消上一步甚至是上几步的计算，再通过其它的可能的分步解答再次尝试寻找问题的答案。

简单地说，回溯通过试错来寻找答案。它将一件事件分为多步解决，在尝试的过程中如果发现当前分步无法解得正确答案（这时会放弃当前步我们称之为剪枝）则回退到上步或者上上步，继续尝试其它解决方案。

递归和回溯的关系：回溯主要体现的是不断试错及回退的算法思想，而递归主要的是指函数调用自身的算法操作，我们经常使用递归来实现回溯。

DFS和回溯的关系：DFS主要表示多维数据的遍历搜索算法，但是其搜索过程中使用栈的推入推出就很符合回溯的思想，如果我们需要寻找答案，比如目标节点或者目标路径，就可以说当前的DFS是一种回溯。也所以说，DFS天然地符合了回溯的思想。

我们来看个回溯的例子（leetcode-77）

屏幕快照 2022-01-15 下午3.43.23.png

var combine = function(n, k) {
  // 答案
  const ans = []

  const backTrack = (list, m) => {
    // 不符合条件剪枝
    if (m - 1 > n) return

    // 当前步已经不符合答案对其剪枝
    if (list.lngth > k) return
    
    if (list.length === k) {
      // 添加正确答案
      ans.push([...list])
      return
    }

    // 我们把当前步的操作分为两种情况

    // 1.选择当前数字
    list.push(m)
    backTrack(list, m + 1)
    // 递归完成后应该弹出当前选择以达到回溯
    list.pop()

    // 2.不选择当前数字
    backTrack(list, m + 1)
  }

  backTrack([], 1)

  return ans
};

上面我们通过例子来说明了如何实现回溯。实际上面的算法，虽然原始数据是一维数组，但实际上我们可以将其认为是一种DFS算法。我们展示下上面回溯的实现就可以明白。

以 combine(4, 3)为例子，红线部分为剪枝。

屏幕快照 2022-01-15 下午4.04.08.png

总结

我们来总结下本篇的知识点

递归是指函数调用自身
DFS是通过递归实现的深度优先遍历算法（修正：可不通过递归）
BFS是和DFS对应的广度优先遍历算法，可使用递归或者不使用递归实现
DFS借助栈实现，而BFS借助队列实现
回溯是种分步试错的算法思想，错了就要回退上一步所以称为回溯。回溯经常使用递归来实现，而DFS的实现就很符合递归的思想。（回溯经常通过某些条件来剪枝）