50. Pow(x, n)

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根据 n 的取值对函数计算的影响, 得出结论①如下:

Pow(x,n)={xn,(n>=0)(1/xn),(n<0)Pow(x, n) = \begin{cases} x ^ n, (n >= 0)\\ (1 / x ^ n), (n < 0)\\ \end{cases}

而根据幂运算法则“同底数幂的乘法:底数不变,指数相加幂的乘方”,有

xmxn=xm+nx ^ m * x ^ n = x ^ {m + n}

假设 f(n)=Pow(x,n)f(n) = Pow(x, n)

于是有结论②如下:

f(n)={f(n/2)f(n/2),(n是偶数)f(n/2)f(n/2)x,(n是奇数)f(n) = \begin{cases} f(n / 2) * f(n / 2), (n 是偶数)\\ f(n / 2) * f(n / 2) * x, (n 是奇数)\\ \end{cases}

可以看出,当 x 确定时,f(n)可以转化为一个与原问题相似的但规模较小(n/2)的问题来求解,所以使用递归完全可以解决该问题,代码如下:

public static double myPow(double x, int n) {
    // 因为 n 需要转成正数来处理,所以使用 long 避免越界
    long m = n;
    // 结论①
    return m >= 0 ? quickMul(x, m) : 1.0 / quickMul(x, -m);
}

public static double quickMul(double x, long n) {
    if (n == 0) return 1.0;
    double half = quickMul(x, n / 2);
    // 结论②
    return n % 2 == 0 ? half * half : half * half * x;
}
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复杂度分析:

时间复杂度:O(㏒n),即为递归的层数。

空间复杂度:O(㏒n),即为递归的层数。这是由于递归的函数调用会使用栈空间。

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