阅读本文需要的背景知识点：线性回归、最大似然估计、一丢丢编程知识

一、引言

前面几节我们学习了标准线性回归，然后介绍了三种正则化的方法 - 岭回归、Lasso回归、弹性网络回归，这些线性模型解决的都是回归的问题。最开始还介绍了两种简单的算法-PLA与口袋算法，他们解决的是分类问题。
那么我们能使用回归的方式来解决分类问题么，答案是肯定的，这就是下面要介绍的模型 - 对数几率回归算法¹（Logistic Regression Algorithm），也有被直译为逻辑回归。

二、模型介绍

对数几率回归的模型函数
既然要通过回归的方式来解决分类的问题，可以通过先进行回归分析，然后通过一个函数将连续的结果映射成离散的分类结果，例如下面的函数表达式：

y=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \left(f\left(w^{T} x\right) \leq C\right) \\ 1 & \left(f\left(w^{T} x\right)>C\right) \end{array}\right.

在介绍对数几率回归模型之前，先来看看一类被称为 S 函数²（Sigmoid function）的函数，这类函数的图像成 S 型，其中最常见的一种函数为逻辑函数³（Logistic function），函数图像如下图所示：

通过图像可以看到，这个函数当自变量越大时，函数值越趋近于1，当自变量最小时，函数值越趋近于0，当自变量为0时，函数值为0.5。当上面表达式中的 C 等于 0.5 时，可以看作将连续的结果映射成离散的结果。
逻辑函数的函数表达式为：

f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}

将线性方程带入逻辑函数中，就得到了对数几率回归的函数方程：

f(x)=\frac{1}{1+e^{-w^Tx}}

对数几率回归的代价函数
我们需要一个代价函数来表示数据拟合的情况，这时很容易想到的是使用与线性回归一样的均方差⁴（mean-square error/MSE）的方法来做为代价函数

\operatorname{Cost}(w)=\sum_{i=1}^{N}(y-\hat{y})^{2}

但对数几率回归是使用似然函数⁵（likelihood function）的对数形式来作为其代价函数，后面会说明为什么使用这种方式比MSE更合适。

最大似然估计：

考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次（正面记为H，反面记为T）。并把抛出一个正面的概率记为 p，抛出一个反面的概率记为 1 - p。假设我们抛出了49个正面，31个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为 1/3、1/2、2/3 。这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计，基于二项分布中的概率质量函数公式，通过这些试验数据（即采样数据），我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。我们可以看到当 p = 2/3 时，似然函数取得值最大。

\begin{array}{l} L\left(p=\frac{1}{3} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{1}{3}\right)^{49}\left(1-\frac{1}{3}\right)^{31} \approx 0.000 \\ L\left(p=\frac{1}{2} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{1}{2}\right)^{49}\left(1-\frac{1}{2}\right)^{31} \approx 0.012 \\ L\left(p=\frac{2}{3} \mid H=49, T=31\right)=C_{80}^{49}\left(\frac{2}{3}\right)^{49}\left(1-\frac{2}{3}\right)^{31} \approx 0.054 \end{array}

第一种表示方式：
在二元分类的情况下，例如 y 取 0 或者 1，将对数几率回归的函数方程的结果看作概率，可以写作下式：

\left\{\begin{array}{ll} P(y=1 \mid x, w)= & h(x) \\ P(y=0 \mid x, w)= & 1-h(x) \end{array}\right.

由于 y 只能取 0 或者 1，可以将上面两个式写成一个式子：

P(y \mid x, w)=h(x)^{y}[1-h(x)]^{1-y}

写出似然函数，其中 N 为样本总数量，将每一个概率累乘就得到了似然函数：

L(w)=\prod_{i=1}^{N} h\left(X_{i}\right)^{y_{i}}\left[1-h\left(X_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}

在 w 的所有可能取值中找一个使得似然函数取到最大值，这时求得的解就是 w 的最大似然估计⁶（maximum likelihood estimation/MLE）

w=\underset{w}{\operatorname{argmax}}(L(w))=\underset{w}{\operatorname{argmax}}\left(\prod_{i=1}^{N} h\left(X_{i}\right)^{y_{i}}\left[1-h\left(X_{i}\right)\right]^{1-y_{i}}\right)

由于带连乘运算的代价函数不好优化，这里我们对似然函数取自然对数并且取反，S 函数的取值为（0，1），似然函数的取值也是（0，1），对其取对数不影响其单调性。这样就得到了对数几率回归的代价函数：

\begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=-\ln L(w) \\ &=-\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i} \ln h\left(X_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \ln \left(1-h\left(X_{i}\right)\right)\right) \end{aligned}

由于加了一步取反的操作，这是就不是求最大值，而是将其改为求最小值：

w=\underset{w}{\operatorname{argmin}}\left(-\sum_{i=1}^{N}\left(y_{i} \ln h\left(X_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \ln \left(1-h\left(X_{i}\right)\right)\right)\right)

第二种表示方式：
我们先来看下 S 函数的一个性质：

\begin{aligned} f(z) &=\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{e^{z}}{1+e^{z}} \\ f(-z) &=\frac{1}{1+e^{z}}=1-f(z) \end{aligned}

在二元分类的情况下，当 y 的值取 -1 或者 1时，将对数几率回归的函数方程的结果看作概率，可以写作下式

\left\{\begin{array}{l} P(y=1 \mid x, w)=h(x)=\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}} \\ P(y=-1 \mid x, w)=1-h(x)=h(-x)=\frac{1}{1+e^{w^{T} x}} \end{array}\right.

由于 y 只能取 -1 或者 1，可以将上面两个式写成一个式子：

P(y \mid x, w)=\frac{1}{1+e^{-y w^{T} x}}

写出似然函数，其中 N 为样本总数量，将每一个概率累乘就得到了似然函数：

L(w)=\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}}

还是求最大似然估计：

w=\underset{w}{\operatorname{argmax}}\left(\prod_{i=1}^{N} \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}}\right)

这里与第一种方式一样，我们对似然函数取自然对数并且取反，就得到了对数几率回归的代价函数：

\begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=-\ln L(w) \\ &=-\sum_{i=1}^{N} \ln \frac{1}{1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}} \\ &=-\sum_{i=1}^{N} \ln 1-\ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{N} \ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right) \end{aligned}

也是求代价函数的最小值：

w=\underset{w}{\operatorname{argmin}}\left(\sum_{i=1}^{N} \ln \left(1+e^{-y_{i} w^{T} X_{i}}\right)\right)

在sklearn中使用的就是上面这个代价函数。

对数几率回归的正则化：
与线性回归一样，对数几率回归的代价函数也可以加上正则化的惩罚项，有两种方式来添加正则项，一个是给正则项添加系数来控制大小，另一个是给代价函数添加系数来控制大小，本质作用是一样的，在 sklearn 中使用的是（2）式中的形式。
L1 正则化：

\begin{aligned} \operatorname{Cost}(w)_{L 1} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda\|w\|_{1} & (1) \\ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\|w\|_{1} & (2) \end{aligned}

L2 正则化：

\begin{aligned} \operatorname{Cost}(w)_{L2} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda\|w\|_{2}^2 & (1) \\ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\|w\|_{2}^2 & (2) \end{aligned}

弹性网络正则化：

\begin{aligned} \operatorname{Cost}(w)_{E N} &=\operatorname{Cost}(w)+\lambda \rho\|w\|_{1}+\frac{\lambda(1-\rho)}{2}\|w\|_{2}^{2} \\ &=C \cdot \operatorname{Cost}(w)+\rho\|w\|_{1}+\frac{(1-\rho)}{2}\|w\|_{2}^{2} \end{aligned}

对数几率回归的代价函数最小化的优化方法有多种，例如前面几节介绍过的坐标下降法。无正则化或者L2正则化的情况下可以用梯度下降法⁷ （Gradient descent）、牛顿法⁸ （Newton's method）来等等。
在 scikit-learn 中可以看到更多的优化方法，其中大多是前面提到算法的加速版本或是变体，例如随机平均梯度下降法（Stochastic Average Gradient/SAG）、随机平均梯度下降加速法（SAGA）、L-BFGS算法（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno/L-BFGS），后面会逐个介绍这些算法。

三、算法步骤

梯度下降法
梯度下降法与坐标下降法的思路一样，都是通过一次一次更新权重系数 w，一步一步的逼近代价函数的最小值。坐标下降法是通过固定某一个坐标轴，求出局部最优解，然后更新 w 的值。梯度下降法则是求出函数的梯度后，沿着梯度的反方向再找到一个合适的步长系数迭代更新 w 的值。
可以理解为碗中的一个小球从某一点自由滚落，必然会沿着变化量最大的方向移动，最后到达最低点。

坐标下降法 VS 梯度下降法

具体步骤：
（1）初始化权重系数 w，例如初始化为零向量
（2）计算下降方向，梯度下降法将梯度的反方向作为下降方向

\Delta w = -\frac{\partial \operatorname{Cost}(w) }{\partial w}

（3）使用线搜索⁹ 方法来计算下降的步长 α，以使每一步迭代都满足Wolfe条件¹⁰
（4）更新权重系数 w

w=w+\alpha \Delta w

（5）重复步骤（2）～（4）直到梯度的大小足够小

牛顿法
牛顿法与梯度下降法一样，也是一种下降方法，两个算法的步骤大致相同，区别就在于选择的下降方向不一样。

绿色为梯度下降，红色为牛顿法，牛顿法的路径更加直接

具体步骤：
（1）初始化权重系数 w，例如初始化为零向量
（2）计算下降方向，牛顿法使用二阶泰勒展开，将黑塞矩阵的逆矩阵与梯度的乘积的反方向作为下降方向

\Delta w=-H^{-1} \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w}

（3）使用线搜索⁹ 方法来计算下降的步长 α，以使每一步迭代都满足Wolfe条件¹⁰
（4）更新权重系数 w

w=w+\alpha \Delta w

（5）重复步骤（2）～（4）直到梯度的大小足够小

四、原理证明

对数几率回归的代价函数是凸函数
凸函数除了通过前面几节中介绍的方法判断外，如果函数是二阶可导的，当函数的黑塞矩阵是半正定的，该函数就为凸函数。

多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

第一种代价函数：

（1）将代价函数连加运算去掉得到一个新函数
（2）带入 h(x)
（3）将 e 的指数符号变换一下
（4）对数除法展开为对数的减法
（5）展开括号
（6）第二项与第四项一样，化简得到

\begin{aligned} f(w) &=-(y \ln h(x)+(1-y) \ln (1-h(x))) & (1)\\ &=-\left(y \ln \frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}+(1-y) \ln \left(1-\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}\right)\right) & (2)\\ &=-\left(y \ln \frac{e^{w^{T} x}}{1+e^{w^{T} x}}+(1-y) \ln \left(\frac{1}{1+e^{w^{T} x}}\right)\right) & (3)\\ &=-y\left(w^{T} x-\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)\right)-(1-y)\left(0-\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)\right) & (4) \\ &=-y w^{T} x+y\left(1+e^{w^{T} x}\right)+\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y\left(1+e^{w^{T} x}\right) & (5)\\ &=\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y w^{T} x & (6) \end{aligned}

（1）上面得到的 f(w)
（2）根据求导公式求一阶导数
（3）利用S函数的性质，将分子化简一下并合并同类项
（4）根据求导公式求二阶导数
（5）整理一下结果，可以看到二阶导数是一个正数乘以一个由 x 向量与 x 向量组成的矩阵

\begin{aligned} f(w) &=\ln \left(1+e^{w^{T} x}\right)-y w^{T} x & (1)\\ \frac{\partial f(w)}{\partial w} &=\frac{1}{1+e^{w^{T} x}} e^{w^{T} x} x-y x & (2)\\ &=\left(\frac{1}{1+e^{-w^{T} x}}-y\right) x & (3)\\ \frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} &=-\frac{1}{\left(1+e^{-w^{T} x}\right)^{2}} e^{-w^{T} x}x(-x^{T}) & (4)\\ &=\frac{e^{-w^{T} x}}{\left(1+e^{-w^{T} x}\right)^{2}} x x^{T} & (5) \end{aligned}

第二种代价函数：

（1）将代价函数连加运算去掉得到一个新函数
（2）根据求导公式求一阶导数
（3）利用S函数的性质，将分子化简一下
（4）根据求导公式求二阶导数
（5）y的平方为1，整理一下结果，可以看到二阶导数也是一个正数乘以一个由 x 向量与 x 向量组成的矩阵

\begin{aligned} f(w) &=\ln \left(1+e^{-y w^{T} x}\right) & (1)\\ \frac{\partial f(w)}{\partial w} &=\frac{1}{1+e^{-y w^{T} x}} e^{-y w^{T} x}\left(-y x\right) & (2)\\ &=-\frac{y}{1+e^{y w^{T} x}} x & (3)\\ \frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} &=\frac{y}{\left(1+e^{y w^{T} x}\right)^{2}} e^{y w^{T} x} x \left(yx^{T}\right) & (4)\\ &=\frac{e^{y w^{T} x}}{\left(1+e^{y w^{T} x}\right)^{2}} x x^{T} & (5) \end{aligned}

（1）令二阶导数为 H 矩阵
（2）矩阵正定的判断方法，带入二阶导数，两种二阶导数的常数部分都用 C 表示，并且 C>0
（3）利用转置的性质改写一下
（4）可以看到最后的结果大于等于 0，说明 H 为半正定矩阵

\begin{aligned} H &=\frac{\partial^{2} f(w)}{\partial w \partial w^{T}} & (1) \\ v^{T} H v &=C \cdot v^{T} x x^{T} v \quad(C>0) & (2) \\ &=C \cdot\left(x^{T} v\right)^{T}\left(x^{T} v\right) & (3) \\ &=C \cdot\left|x^{T} v\right|^{2} \geq 0 & (4) \end{aligned}

两种新函数的黑塞矩阵都是半正定的，那么新函数是凸函数，多个凸函数相加的函数依然是凸函数，则说明代价函数是一个凸函数，证毕。

为什么不用MSE作为代价函数¹¹

MSE 作为代价函数对错误数据的惩罚力度不足

当预测数据完全错误时（例如实际值为 0 预测值为 1，或实际值为 1 预测值为 0）
用MSE作为代价函数：

\text { Cost }=(1-0)^{2}=1

使用对数似然函数作为代价函数（第一种）：

\text { Cost }=-(1 \cdot \ln 0+(1-1) \cdot \ln (1-0))=\infty

使用对数似然函数作为代价函数（第二种）：（1）实际值为 1 预测值为 -1 （2）预测值为 -1，其对应的h(x) = 0 （3）这时线性组合的值为负无穷大（4）这时的代价为无穷大

\begin{array}{l} y=1, \hat{y}=-1 & (1)\\ h(x)=0 & (2)\\ w^{T} x=-\infty & (3)\\ \text { Cost }=\ln \left(1+e^{-1 \cdot(-\infty)}\right)=\infty & (4) \end{array}

可以看到 MSE 的代价值远远小于对数似然函数的代价值，说明 MSE 的代价函数不会重重地惩罚错误分类，哪怕是完全错误的分类。

MSE 作为代价函数不是一个凸函数

先来看下上面 S函数导函数的一个性质，下面会用到这个性质：

\begin{aligned} h(z) &=\frac{1}{1+e^{-z}} \\ \frac{\partial h(z)}{\partial z} &=-\frac{1}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} e^{-z}(-1) \\ &=\frac{e^{-z}}{\left(1+e^{-z}\right)^{2}} \\ &=\frac{1}{1+e^{-z}} \frac{e^{-z}}{1+e^{-z}} \\ &=h(z)(1-h(z)) \end{aligned}

（1）将 MSE 作为代价函数
（2）求一阶导数，由于直接对 w 求导较为复杂，所以拆解为两步求导
（3）先对 y^ 求导，后面再对 w 求导，用到了上面说的S函数的性质，注意最后还有一个x
（4）展开括号
（5）求二阶导数，也是拆解为两步求导
（6）先对 y^ 求导，后面再对 w 求导

\begin{aligned} \operatorname{Cost}(w) &=(y-\hat{y})^{2} & (1)\\ \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w} &=\frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial \hat{y}} \frac{\partial \hat{y}}{\partial w} & (2)\\ &=2(y-\hat{y})(-1) \hat{y}(1-\hat{y}) x & (3)\\ &=-2\left(y \hat{y}-\hat{y}^{2}-y \hat{y}^{2}+\hat{y}^{3}\right) x & (4)\\ \frac{\partial^{2} \operatorname{Cost}(w)}{\partial w\partial w^T} &=\frac{\partial \frac{\partial \operatorname{Cost}(w)}{\partial w}}{\partial \hat{y}} \frac{\partial \hat{y}}{\partial w^T} & (5)\\ &=-2\left(y-2 \hat{y}-2 y \hat{y}+3 \hat{y}^{2}\right) \hat{y}(1-\hat{y}) xx^{T} & (6) \end{aligned}

同上面证明一样，现在只需要看常数项是否是大于等于 0
（1）当 y = 1 时，带入二阶导函数中
（2）因式分解
（3）可以看到，当 y^ 取不同范围的时候，常数项不是一直都是大于等于0的

\begin{aligned} g(\hat{y}) &=-2\left(1-4 \hat{y}+3 \hat{y}^{2}\right) \quad(y=1) & (1) \\ &=-2(3 \hat{y}-1)(\hat{y}-1) & (2) \\ & \Rightarrow\left\{\begin{array}{ll} \hat{y} \in\left[0, \frac{1}{3}\right) & g(\hat{y})<0 \\ \hat{y} \in\left[\frac{1}{3}, 1\right] & g(\hat{y}) \geq 0 \end{array}\right. & (3) \end{aligned}

（1）当 y = 0 时，带入二阶导函数中
（2）因式分解
（3）可以看到，当 y^ 取不同范围的时候，常数项也不是一直都是大于等于0的

\begin{array}{rlr} g(\hat{y}) & =-2\left(3 \hat{y}^{2}-2 \hat{y}\right) \quad (y=0) & (1)\\ & =-2 \hat{y}(3 \hat{y}-2) & (2)\\ & \Rightarrow\left\{\begin{aligned} \hat{y} \in\left[0, \frac{2}{3}\right] & g(\hat{y}) \geq 0 \\ \hat{y} \in\left(\frac{2}{3}, 1\right] & g(\hat{y})<0 \end{aligned}\right. & (3) \end{array}

由于使用MSE作为代价函数的黑塞矩阵不能保证是半正定的，说明其代价函数不是一个凸函数。

梯度下降法的下降方向
先来看下一元的泰勒公式¹² ，其中o(...) 表示括号内式子的高阶无穷小，多元泰勒公式就是前面的一、二阶导数改写成雅可比矩阵和黑塞矩阵的形式：

f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+o\left((x-a)^{n}\right)

我的目标是每次迭代后的代价函数值比上次都小：

\operatorname{Cost}(w_{n+1}) \lt \operatorname{Cost}(w_{n})

将对数几率回归的代价函数用多元的一阶泰勒公式近似，雅可比矩阵为代价函数的梯度：

\operatorname{Cost}(w) \approx \operatorname{Cost}(A)+\nabla \operatorname{Cost}(A)^{T}(w-A)

（1）将 w_n 带入 A，w_n+1 带入 w
（2）w_n+1 - w_n = Δw，移项可以看到需要保证梯度乘 Δw 小于 0
（3）当 Δw 为负的梯度时，可以保证梯度乘 Δw 小于 0
（4）这样就得到了梯度下降的下降方向

\begin{aligned} \operatorname{Cost}\left(w_{n+1}\right) & \approx \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)+\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T}\left(w_{n+1}-w_{n}\right) & (1) \\ \operatorname{Cost}\left(w_{n+1}\right)-\operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & \approx \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \Delta w<0 & (2) \\ \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \Delta w &=-\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)^{T} \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)<0 & (3) \\ \Delta w &=-\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & (4) \end{aligned}

牛顿法的下降方向
将对数几率回归的代价函数用多元的二阶泰勒公式近似，雅可比矩阵为代价函数的梯度，H为代价函数的黑塞矩阵：

\operatorname{Cost}(w) \approx \operatorname{Cost}(A)+\nabla \operatorname{Cost}(A)^{T}(w-A)+\frac{1}{2}(w-A)^{T} H(w-A)

（1）将 w_n 带入 A，并对近似函数求梯度，另梯度等于 0 向量，这时取得当前的极小值
（2）这样就得到了牛顿法的下降方向

\begin{aligned} \nabla \operatorname{Cost}(w) &=\nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right)+H\left(w-w_{n}\right)=0 & (1) \\ w &=w_{n}-H^{-1} \nabla \operatorname{Cost}\left(w_{n}\right) & (2) \end{aligned}

五、代码实现

使用 Python 实现对数几率回归算法（梯度下降法）：

import numpy as np

c_1 = 1e-4
c_2 = 0.9

def cost(X, y, w):
    """
    对数几率回归的代价函数
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
    return:
        代价函数值
    """
    power = -np.multiply(y, X.dot(w))
    p1 = power[power <= 0]
    p2 = -power[-power < 0]
    # 解决 python 计算 e 的指数幂溢出的问题
    return np.sum(np.log(1 + np.exp(p1))) + np.sum(np.log(1 + np.exp(p2)) - p2)

def dcost(X, y, W):
    """
    对数几率回归的代价函数的梯度
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
    return:
        代价函数的梯度
    """
    return X.T.dot(np.multiply(-y, 1 / (1 + np.exp(np.multiply(y, X.dot(w))))))

def direction(d):
    """
    更新的方向
    args:
        d - 梯度
    return:
        更新的方向
    """
    return -d

def sufficientDecrease(X, y, w, step):
    """
    判断是否满足充分下降条件（sufficient decrease condition）
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
        step - 步长
    return:
        是否满足充分下降条件
    """
    d = dcost(X, y, w)
    p = direction(d)
    return cost(X, y, w + step * p) <= cost(X, y, w) + c_1 * step * p.T.dot(d)

def curvature(X, y, w, step):
    """
    判断是否满足曲率条件（curvature condition）
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
        step - 步长
    return:
        是否满足曲率条件
    """
    d = dcost(X, y, w)
    p = direction(d)
    return -p.T.dot(dcost(X, y, w + step * p)) <= -c_2 * p.T.dot(d)

def select(step_low, step_high):
    """
    在范围内选择一个步长，直接取中值
    args:
        step_low - 步长范围开始值
        step_high - 步长范围结束值
    return:
        步长
    """
    return (step_low + step_high) / 2

def lineSearch(X, y, w, step_init, step_max):
    """
    线搜索步长，使其满足 Wolfe 条件
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        w - 权重系数
        step_init - 步长初始值
        step_max - 步长最大值
    return:
        步长
    """
    step_i = step_init
    step_low = step_init
    step_high = step_max
    i = 1
    d = dcost(X, y, w)
    p = direction(d)
    while (True):
        # 不满足充分下降条件或者后面的代价函数值大于前一个代价函数值
        if (not sufficientDecrease(X, y, w, step_i) or (cost(X, y, w + step_i * p) >= cost(X, y, w + step_low * p) and i > 1)):
            # 将当前步长作为搜索的右边界
            # return search(X, y, w, step_prev, step_i)
            step_high = step_i
        else:
            # 满足充分下降条件并且满足曲率条件，即已经满足了 Wolfe 条件
            if (curvature(X, y, w, step_i)):
                # 直接返回当前步长
                return step_i
            step_low = step_i
        # 选择下一个步长
        step_i = select(step_low, step_high)
        i = i + 1

def logisticRegressionGd(X, y, max_iter=1000, tol=1e-4, step_init=0, step_max=10):
    """
    对数几率回归，使用梯度下降法（gradient descent）
    args:
        X - 训练数据集
        y - 目标标签值
        max_iter - 最大迭代次数
        tol - 变化量容忍值
        step_init - 步长初始值
        step_max - 步长最大值
    return:
        w - 权重系数
    """
    # 初始化 w 为零向量
    w = np.zeros(X.shape[1])
    # 开始迭代
    for it in range(max_iter):
        # 计算梯度
        d = dcost(X, y, w)
        # 当梯度足够小时，结束迭代
        if np.linalg.norm(x=d, ord=1) <= tol:
            break
        # 使用线搜索计算步长 
        step = lineSearch(X, y, w, step_init, step_max)
        # 更新权重系数 w
        w = w + step * direction(d)
    return w

使用 Python 实现对数几率回归算法（牛顿法）：

import numpy as np

c_1 = 1e-4
c_2 = 0.9

def cost(X, y, w):
   """
   对数几率回归的代价函数
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
   return:
       代价函数值
   """
   power = -np.multiply(y, X.dot(w))
   p1 = power[power <= 0]
   p2 = -power[-power < 0]
   # 解决 python 计算 e 的指数幂溢出的问题
   return np.sum(np.log(1 + np.exp(p1))) + np.sum(np.log(1 + np.exp(p2)) - p2)

def dcost(X, y, w):
   """
   对数几率回归的代价函数的梯度
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
   return:
       代价函数的梯度
   """
   return X.T.dot(np.multiply(-y, 1 / (1 + np.exp(np.multiply(y, X.dot(w))))))

def ddcost(X, y, w):
   """
   对数几率回归的代价函数的黑塞矩阵
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
   return:
       代价函数的黑塞矩阵
   """
   exp = np.exp(np.multiply(y, X.dot(w)))
   result = np.multiply(exp, 1 / np.square(1 + exp))
   X_r = np.zeros(X.shape)
   for i in range(X.shape[1]):
       X_r[:, i] = np.multiply(result, X[:, i])
   return X_r.T.dot(X)

def direction(d, H):
   """
   更新的方向
   args:
       d - 梯度
       H - 黑塞矩阵
   return:
       更新的方向
   """
   return - np.linalg.inv(H).dot(d)

def sufficientDecrease(X, y, w, step):
   """
   判断是否满足充分下降条件（sufficient decrease condition）
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
       step - 步长
   return:
       是否满足充分下降条件
   """
   d = dcost(X, y, w)
   H = ddcost(X, y, w)
   p = direction(d, H)
   return cost(X, y, w + step * p) <= cost(X, y, w) + c_1 * step * p.T.dot(d)

def curvature(X, y, w, step):
   """
   判断是否满足曲率条件（curvature condition）
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
       step - 步长
   return:
       是否满足曲率条件
   """
   d = dcost(X, y, w)
   H = ddcost(X, y, w)
   p = direction(d, H)
   return -p.T.dot(dcost(X, y, w + step * p)) <= -c_2 * p.T.dot(d)

def select(step_low, step_high):
   """
   在范围内选择一个步长
   args:
       step_low - 步长范围开始值
       step_high - 步长范围结束值
   return:
       步长
   """
   return (step_low + step_high) / 2

def lineSearch(X, y, w, step_init, step_max):
   """
   线搜索步长，使其满足 Wolfe 条件
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       w - 权重系数
       step_init - 步长初始值
       step_max - 步长最大值
   return:
       步长
   """
   step_i = step_init
   step_low = step_init
   step_high = step_max
   i = 1
   d = dcost(X, y, w)
   H = ddcost(X, y, w)
   p = direction(d, H)
   while (True):
       # 不满足充分下降条件或者后面的代价函数值大于前一个代价函数值
       if (not sufficientDecrease(X, y, w, step_i) or (cost(X, y, w + step_i * p) >= cost(X, y, w + step_low * p) and i > 1)):
           # 将当前步长作为搜索的右边界
           # return search(X, y, w, step_prev, step_i)
           step_high = step_i
       else:
           # 满足充分下降条件并且满足曲率条件，即已经满足了 Wolfe 条件
           if (curvature(X, y, w, step_i)):
               # 直接返回当前步长
               return step_i
           step_low = step_i
       # 选择下一个步长
       step_i = select(step_low, step_high)
       i = i + 1

def logisticRegressionNewton(X, y, max_iter=1000, tol=1e-4, step_init=0, step_max=10):
   """
   对数几率回归，使用牛顿法（newton's method）
   args:
       X - 训练数据集
       y - 目标标签值
       max_iter - 最大迭代次数
       tol - 变化量容忍值
       step_init - 步长初始值
       step_max - 步长最大值
   return:
       w - 权重系数
   """
   # 初始化 w 为零向量
   w = np.zeros(X.shape[1])
   # 开始迭代
   for it in range(max_iter):
       # 计算梯度
       d = dcost(X, y, w)
       # 计算黑塞矩阵
       H = ddcost(X, y, w)
       # 当梯度足够小时，结束迭代
       if np.linalg.norm(d) <= tol:
           break
       # 使用线搜索计算步长 
       step = lineSearch(X, y, w, step_init, step_max)
       # 更新权重系数 w
       w = w + step * direction(d, H)
   return w

六、第三方库实现

scikit-learn¹³ 实现无正则化的对数几率回归：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn¹³ 实现L1正则化的对数几率回归：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，L1正则化，使用坐标下降法
reg = LogisticRegression(penalty="l1", C=10, solver="liblinear")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn¹³ 实现L2正则化的对数几率回归：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，L2正则化
reg = LogisticRegression(penalty="l2", C=10)
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn¹³ 实现弹性网络正则化的对数几率回归：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression

# 初始化对数几率回归器，弹性网络正则化
reg = LogisticRegression(penalty="elasticnet", C=10, l1_ratio=0.5, solver="saga")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_

scikit-learn 每种优化方法所支持的正则项：