贝塞尔曲线及其应用

简介

在前端工作中，贝塞尔曲线被多个地方应用。就如最近年会抽奖中，开始滚动的加速度和结束滚动时如何缓慢停止在中奖号码的位置，就用到了贝塞尔曲线。所以顺势就介绍一下贝塞尔曲线和简单应用。 其一般参数公式：

该曲线是由P0开始，止于Pn，中间有n-2个点控制曲线的走势。根据控制点个数不同，得到不同的特殊曲线公式。

在实际工作中，常用的是二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。一次贝塞尔曲线，呈现出来的是一条直线。下面是几种常见的贝塞尔曲线的介绍和应用。

常见的曲线

线性公式

n=1时，控制点个数: 0，仅有开始和结束两个点，得到的是一条直线。

二次方公式

n=2时，控制点个数: 1

三次方公式

n=3时，控制点个数: 2

公式说明

以二次方公式为例，转换为函数如下，其中P0为起点，P2为终点，P1为控制点。得到的是从P0到P2的点关于t的二次函数，t的范围[0, 1]。

function QuadraticBezier(P0, P1, P2){
  return (t) => (1 - t) * (1 - t) * P0 + 2 * t * (1 - t) * P1 + t * t * P2;
}

应用

SVG的应用

在SVG中，用q或者Q可以绘制二次方贝塞尔曲线(q指相对位置，Q指绝对位置)。以svg为例， 关键代码<path d="M 100 350 Q 250 50 400 350"/> ，起点P0(100 350), 终点P2(400 350), 控制点P1(250 50)。将X坐标和Y坐标分别带入函数QuadraticBezier中，可以获得某个时刻的具体坐标。

// 分别计算X、Y
const getX = new QuadraticBezier(100, 250, 400);
const getY = new QuadraticBezier(350, 50, 350);

const point = document.getElementById("point");  // 随着t动态移动的点
let t = 0;  // 初始值为0，逐步增加到1
function setXY () {
  point.style.top = getY(t) + "px";
  point.style.left = getX(t) + "px";
  if (t >= 1) {
    cancelAnimationFrame(frame);
  } else {
    t = t + 0.005;
    frame = requestAnimationFrame(setXY);
  }
}
let frame = requestAnimationFrame(setXY);

随着t的增加，分别计算出point的top和left，可以得到如下动画：

canvas中的apiquadraticCurveTo、bezierCurveTo与绘制SVG类似。

CSS animation-timing-function

在CSS动画中由animation-timing-function规定动画的速度曲线，已经预设了几个值： linear、ease、ease-in、ease-out、ease-in-out，自定义速度时使用cubic-bezier()灵活控制。 可以修改例子中数字看看效果。

JS中应用

CSS属性animation-timing-function的值cubic-bezier接收的值正常范围是[0, 1]的，即在三次贝塞尔曲线中，默认起始点P0(0, 0)，终点P3(1, 1)，可以推导出公式

const CubicBezier = P0 * (1-t)^3 + 3 * P1 * t * (1-t)^2 + 3 * P2 * t^2 * (1-t) + P3 * t^3
// 令 P0(0, 0), P3(1, 1), P1(x1, y1), P2(x2, y2)，代入
x = 3 * x1 * t * (1-t)^2 + 3 * x2 * t^2 * (1-t) + t^3;
  = (3 * x1 - 3 * x2 + 1) * t^3 + (3 * x2 - 6 * x1) * t^2 + 3 * x1 * t;
y = (3 * y1 - 3 * y2 + 1) * t^3 + (3 * y2 - 6 * x1) * t^2 + 3 * y1 * t;

即
function CubicBezier(x1, y1, x2, y2) {
  this.x1 = x1;
  this.y1 = y1;
  this.x2 = x2;
  this.y2 = y2;
}
CubicBezier.prototype.sampleCurveX = function(t){
  const x1 = this.x1, x2 = this.x2;
  return (3 * x1 - 3 * x2 + 1) * t^3 + (3 * x2 - 6 * x1) * t^2 + 3 * x1 * t;
}
CubicBezier.prototype.sampleCurveY = function(t){
  const y1 = this.y1, y2 = this.y2;
  return (3 * y1 - 3 * y2 + 1) * t^3 + (3 * y2 - 6 * x1) * t^2 + 3 * y1 * t;
}

将X和Y的函数结合起来，即可计算t时刻的值：

CubicBezier.prototype.solve = function(t){
  return this.sampleCurveY(this.sampleCurveX(t))
}

此时简单结合起来，误差较大。因为根据绘制SVG例子中可以看出，函数sampleCurveX和sampleCurveY计算的是t时刻的坐标x和y，能画出该三次贝塞尔曲线。但是应用到属性值的变化上时，曲线上t时刻的切线代表t时刻属性值变化的速度，与t时刻的坐标x和y不是直接关系。所以需要在对函数进行再加工。牛顿迭代法：

CubicBezier.prototype.solve = function(x){
  if (x === 0 || x === 1) {             // 对 0 和 1 两个特殊 t 不做计算
    return this.sampleCurveY(x);
  } 
  let t = x
  for (let i = 0; i < 8; i++) {         // 进行 8 次迭代
    const g = this.sampleCurveX(t) - x
    if (Math.abs(g) < this.epsilon) {   // 检测误差到可以接受的范围, 如：this.epsilon = 1e-7;
      return this.sampleCurveY(t)
    }
    const d = 3 * (3 * x1 - 3 * x2 + 1) * t^2 + 2 * (3 * x2 - 6 * x1) * t + 3 * x1;  // 对 x 求导
    if (Math.abs(d) < 1e-6) {           // 如果梯度过低，说明牛顿迭代法无法达到更高精度
      break
    }
    t = t - g / d;
  }
  return this.sampleCurveY(t)                   // 对得到的近似 t 求 y
}

在误差可接受的范围内，迭代后的效果与CSS动画还是有微微的差距的。测试效果如下:

老虎机中的应用

在年会抽奖页面中，也用到了三次贝塞尔曲线，如：开始滚动时，滚动速度要从0加速到指定速度maxSpeed，需要传入：初始速度0，最大速度maxSpeed，当前时间，加速到maxSpeed所需时间以及控制点。可得如下函数：

function initCubicBezier(startTime, totalTime, startValue, targetValue, controlArr){
  let cubic = new CubicBezier(...controlArr);
  function getValue(time){
    let progress = (time - startTime) / totalTime;
    if (progress >= 1) {
      progress = 1
    }
    const value = cubic.solve(progress);
    return value * (targetValue - startValue) + startValue;
  }
  return getValue;
}

1. 开始滚动

   1. 创建获取当前时间对应速度的函数getSpeed
   2. 根据top值使图片偏移，达到移动效果
   3. top = top + speed, 修改speed的值使增量变化，达到加速效果
   4. 速度未达到最大速度时，getSpeed获取新的速度
   5. 重复2-4，主要代码如下

function start() {
  let top = 0; // 当前图片移动的位置
  let speed = 0;  // 初始速度
  const targetSpeed = 100;  // 最大速度
  const totalTime = 3000;   // 3000毫秒加速到最大速度
  const getSpeed = initCubicBezier(date.now(), totalTime, speed, targetSpeed, [.5,.5,.5,.5]);
  
  function run () {
    if (speed < targetSpeed) {
      speed = getSpeed(Date.now());
    }
    top = top + speed;
    drawImage(top);  // 重新绘制图片
    requestAnimationFrame(run);
  }
  requestAnimationFrame(run); 
}

2. 结束滚动

   1. 需要结束时根据top计算当前显示的数字showNum
   2. 根据中奖数字targetNum和showNum计算出，停止滚动时的值targetTop
   3. 创建获取某时刻的top函数getTop
   4. 计算此刻图片的偏移量top
   5. 判断top < targetTop时，说明还未滚动中奖号码，继续滚动
   6. 判断top >= targetTop时，停止滚动。

function end(targetNum) {
  const targetTop = getTargetTop(top, targetNum);  // 根据当先位置，和中奖数字，获取停留的位置
  const getTop = initCubicBezier(date.now(), 3000, top, targetTop, [.39,.61,.74,.99]);
  function run () {
    if (top >= targetTop) {
      cancelAnimationFrame(frame);
    } else {
      top = getTop(Date.now());
      drawImage(top);  // 绘制新图片
      frame = requestAnimationFrame(run);
    }
  }
  let frame = requestAnimationFrame(run);
}

最终效果如下:

注释

因不能直接引用mp4格式，所以文中的动画都转成GIF格式了，效果差了很多，原视频地址请查看对应链接。 图片存放在github，若打不开也请查看对应链接。 如有关于视频存放或者其他建议烦请联系我，感谢