关于莫比乌斯反演的证明一个重要的性质： $$ \sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] $$

一个重要的性质：

\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]

其中 $[n=1]$ 当 $n=1$ 时值为 $1$ ，否则为 $0$ 。

莫比乌斯反演：

若F(n)=\sum\limits _{d\mid n}f(d)，那么f(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\\ 其中\mu为莫比乌斯函数。\\ \mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n含有平方因子\\ (-1)^k&k为n的不同质因子的个数 \end{cases}

证明：

\begin{aligned} f(n)&=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\\ &=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\sum\limits_{i\mid\frac{n}{d}}f(i)\\ &=\sum\limits_{i\mid n}f(i)\sum\limits_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d) \tag*{1}\\ &=f(n) \end{aligned}

标号为 $1$ 处的变换可以这样理解：原式中的 $i$ 取遍了 $n$ 的所有因数，考虑对于 $i$ 的一个数值，对答案的贡献是多少。原式中 $i,d,n$ 的关系可以表示为 $k\cdot i\cdot d=n$ ，其中 $k$ 为正整数。当 $i$ 固定时， $d=\frac{n}{k\cdot i}$ ，即 $d$ 为 $\frac{n}{i}$ 的因数。重新写一下就得到新的式子，目的是让 $\mu(d)$ 能一起计算，这样根据文章开头提到的性质可知，只有 $i=n$ 的时候 $\mu(d)=1$ ，得证。