一个重要的性质:
d∣n∑μ(d)=[n=1]
其中[n=1]当n=1时值为1,否则为0。
莫比乌斯反演:
若F(n)=d∣n∑f(d),那么f(n)=d∣n∑μ(d)F(dn)其中μ为莫比乌斯函数。μ(n)=⎩⎨⎧10(−1)kn=1n含有平方因子k为n的不同质因子的个数
证明:
f(n)=d∣n∑μ(d)F(dn)=d∣n∑μ(d)i∣dn∑f(i)=i∣n∑f(i)d∣in∑μ(d)=f(n)1
标号为1处的变换可以这样理解:原式中的i取遍了n的所有因数,考虑对于i的一个数值,对答案的贡献是多少。原式中i,d,n的关系可以表示为k⋅i⋅d=n,其中k为正整数。当i固定时,d=k⋅in,即d为in的因数。重新写一下就得到新的式子,目的是让μ(d)能一起计算,这样根据文章开头提到的性质可知,只有i=n的时候μ(d)=1,得证。