关于莫比乌斯反演的证明

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一个重要的性质:

dnμ(d)=[n=1]\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]

其中[n=1][n=1]n=1n=1时值为11,否则为00

莫比乌斯反演:

F(n)=dnf(d),那么f(n)=dnμ(d)F(nd)其中μ为莫比乌斯函数。μ(n)={1n=10n含有平方因子(1)kkn的不同质因子的个数若F(n)=\sum\limits _{d\mid n}f(d),那么f(n)=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\\ 其中\mu为莫比乌斯函数。\\ \mu(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n含有平方因子\\ (-1)^k&k为n的不同质因子的个数 \end{cases}

证明:

f(n)=dnμ(d)F(nd)=dnμ(d)indf(i)=inf(i)dniμ(d)=f(n)1\begin{aligned} f(n)&=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\\ &=\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)\sum\limits_{i\mid\frac{n}{d}}f(i)\\ &=\sum\limits_{i\mid n}f(i)\sum\limits_{d\mid \frac{n}{i}}\mu(d) \tag*{1}\\ &=f(n) \end{aligned}

标号为11处的变换可以这样理解:原式中的ii取遍了nn的所有因数,考虑对于ii的一个数值,对答案的贡献是多少。原式中i,d,ni,d,n的关系可以表示为kid=nk\cdot i\cdot d=n,其中kk为正整数。当ii固定时,d=nkid=\frac{n}{k\cdot i},即ddni\frac{n}{i}的因数。重新写一下就得到新的式子,目的是让μ(d)\mu(d)能一起计算,这样根据文章开头提到的性质可知,只有i=ni=n的时候μ(d)=1\mu(d)=1,得证。