背包问题
背包问题是一类经典的算法问题，属于动态规划解法范畴，其核心是在一个范围内择出最优解。
一般描述为：给定一组物品和一个背包，每种物品都有自己的重量和价格，在背包限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。
非完全背包
如下面的背包基础问题：
描述
有若干个物品和一个大小为 m 的背包. 给定数组 A 表示每个物品的大小和数组 V 表示每个物品的价值。
问最多能装入背包的总价值是多大?
样例
样例 1：
输入：
m = 10
A = [2, 3, 5, 7]
V = [1, 5, 2, 4]
输出：
9
解释：
装入 A[1] 和 A[3] 可以得到最大价值, V[1] + V[3] = 9
样例 2：
输入：
m = 10
A = [2, 3, 8]
V = [2, 5, 8]
输出：
10
解释：
装入 A[0] 和 A[2] 可以得到最大价值, V[0] + V[2] = 10
解法
我们有n种物品，物品j的重量为wj，价格为pj。
我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。
针对每个物品x，我们可以选择0个或者1个（用或者不用），转换成具体公式：
在总重量不超过W的前提下，我们希望总价格最高。对于Y ≤ W，我们将在总重量不超过Y的前提下，总价格所能达到的最高值定义为A(Y)。A(W)即为问题的答案。
显然，A(Y)满足：
其中，pj为第j种物品的价格。
- 对于第一种情况，如果总重量为0，总价值也为0。
- 对于第二种情况，总重量为Y时背包的最高价值可能有两种情况，第一种是该重量无法被完全填满，这对应于表达式A(Y - 1)。第二种是刚好填满，这对应于一个包含一系列刚好填满的可能性的集合，其中的可能性是指当最后放进包中的物品恰好是重量为wj的物品时背包填满并达到最高价值。而这时的背包价值等于重量为wj物品的价值pj和当没有放入该物品时背包的最高价值之和。故归纳为表达式pj + A(Y - wj)。最后把所有上述情况中背包价值的最大值求出就得到了A(Y)的值。
所以这里就存在了递推关系，依次计算A(0), A(1), ..., A(W)，并把每一步骤的结果存入表中供后续步骤使用，完成这些步骤后A(W)即为最终结果，符合了动态规划思路，我们把这个思路转换为代码：
var backPack = function(m, A, V) {
var dp = new Array(m+1).fill(0)// 动态规划数组，初始化值为0，即没有任何物品，价值为0
// 外层循环物品
for (var i = 0 ; i < A.length ; i++) {
// 内层循环背包，倒序避免重复
for (var j = m ; j>=0 ; j--) {
if (j-A[i] >= 0) {
// dp[j]表示公式里面的A(Y),V[i]表示pj,A[i]表示wj
dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-A[i]]+V[i])
}
}
}
return dp[m]// 达到背包容量时，即最大价值
}
这样，就得到了答案，这个问题中，每个物品只能被使用一次，即不能重复使用，对于可以重复使用的物品，我们称之为完全背包问题。
完全背包
描述
给定若干种物品, 每种物品都有无限个. 第 i 个物品的体积为 A[i], 价值为 V[i].
再给定一个容量为 m 的背包. 问可以装入背包的最大价值是多少?
样例
样例 1:
输入: A = [2, 3, 5, 7], V = [1, 5, 2, 4], m = 10
输出: 15
解释: 装入三个物品 1 (A[1] = 3, V[1] = 5), 总价值 15.
样例 2:
输入: A = [1, 2, 3], V = [1, 2, 3], m = 5
输出: 5
解释: 策略不唯一. 比如, 装入五个物品 0 (A[0] = 1, V[0] = 1).
解法
我们直接给出代码：
var backPack = function(m, A, V) {
var dp = new Array(m+1).fill(0)// 动态规划数组，初始化值为0，即没有任何物品，价值为0
// 外层循环背包
for (var i = 0 ; i <=m ; i++) {
// 内层循环物品
for (var j = 0 ; j<A.length ; j++) {
if (i-A[j] >= 0) {
dp[i] = Math.max(dp[i],dp[i-A[j]]+V[j])
}
}
}
return dp[m]// 达到背包容量时，即最大价值
}
和上面非完全背包区别是，由于物品可以无限次使用，我们把物品循环放在了内部，外层循环背包。
背包问题模板
万能模板
上面的解法，采用了数学公式的思路，推断出动态规划的递推公式，这显然很复杂，但是看最终的代码实现，我们发现这类背包问题一般是如下步骤：
- 首先定义一个DP数组，保存每一步递推的值。
- 两层循环，外层物品或内层背包。
- 判断临界条件，应用递推公式计算。
- 通过DP数组，得出最终结果。
结合上面的步骤，以及完全背包和非完全背包的区别，我们可以得到解决背包问题或者类似背包问题的通用模板万能公式，如下：
target：背包
nums：物品
var dp = new Array(target + 1).fill(0);
dp[0] = 1;// 根据实际情况是否设置初始值
for(var i = 1; i <= target; i++){
for(var j = 0; j < nums.length; j++){
...
}
}
-
非完全背包：每个物品只能用一次（内层循环倒序）。
-
完全背包：每个物品可以重复使用（内层循环正序）。
-
非完全背包：
- 外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
-
完全背包：
- 如果求组合数（不考虑结果元素的顺序）就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
- 如果求排列数（考虑顺序）就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
真题套用
结合leetcode上的原题，我们可以把背包问题大致分为以下几类：
-
1、组合问题：
组合问题公式：
dp[i] += dp[i-num] -
2、排列问题
排列问题公式：
dp[i] += dp[i-num] -
3、True、False问题：
True、False问题公式：
dp[i] = dp[i] or dp[i-num] -
4、最大最小问题：
最大最小问题公式：
dp[i] = min(dp[i], dp[i-num]+1)或者dp[i] = max(dp[i], dp[i-num]+1)
下面，结合几个典型真题例子，来看看如何套用公式。
322.零钱兑换：
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
示例 4：
输入：coins = [1], amount = 1
输出：1
示例 5：
输入：coins = [1], amount = 2
输出：2
解法
金额可以抽象为背包，硬币可以抽象为物品，这就转换成了一个背包问题，题目中描述硬币数量无限使用，那么就是一个完全背包问题，那么就可以套用模板：
- 只求数量，不考虑顺序，符合组合数，外层for物品，内层for背包。
- 最小值问题，使用最小值公式。
- 完全背包问题，内层循环正序。
得到代码如下所示：
var coinChange = function(coins, amount) {
var dp = new Array(amount+1).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER)
dp[0] = 0
for (var i = 0 ; i < coins.length ; i++) {
for (var j = 0 ; j <= amount ; j++) {
if (j >= coins[i]) {
dp[j] = Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)// 最小值问题公式
}
}
}
return dp[amount] == Number.MAX_SAFE_INTEGER ? -1 : dp[amount]
};
518.零钱兑换II：
给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。
请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。
假设每一种面额的硬币有无限个。
示例 1：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1
示例 2：
输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。
示例 3：
输入：amount = 10, coins = [10]
输出：1
解法
金额可以抽象为背包，硬币可以抽象为物品，这就转换成了一个背包问题，题目中描述硬币数量无限使用，那么就是一个完全背包问题，那么就可以套用模板：
- 只求数量，不考虑顺序，符合组合数，外层for物品，内层for背包。
- 组合问题，使用组合公式。
- 完全背包问题，内层循环正序。
得到代码如下所示：
var change = function(amount, coins) {
var dp = new Array(amount+1).fill(0)
dp[0] = 1 // 总数为0时，只有一种方案兑换 就是所有硬币都不选择
for (var i = 0 ; i < coins.length ; i++) {
for (var j = 0 ; j <= amount ; j++) {
if (j-coins[i]>=0) {
dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]] // 组合问题公式
}
}
}
return dp[amount]
};
139.单词拆分：
给定一个非空字符串 s 和一个包含非空单词的列表 wordDict，判定 s 是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
说明：
- 拆分时可以重复使用字典中的单词。
- 你可以假设字典中没有重复的单词。
示例 1：
输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以被拆分成 "leet code"。
示例 2：
输入: s = "applepenapple", wordDict = ["apple", "pen"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "applepenapple" 可以被拆分成 "apple pen apple"。
注意你可以重复使用字典中的单词。
示例 3：
输入: s = "catsandog", wordDict = ["cats", "dog", "sand", "and", "cat"]
输出: false
解法
字符串s可以抽象为背包，单词列表wordDict可以抽象为物品，这就转换成了一个背包问题，题目中描述可以使用重复的单词，那么就是一个完全背包问题，那么就可以套用模板：
- 单词顺序影响结果，符合排列数，外层for背包，内层for物品。
- True，False问题，使用True，False公式。
- 完全背包问题，内层循环正序。
得到代码如下所示：
var wordBreak = function(s, wordDict) {
var dp = new Array(s.length+1).fill(false)
// dp[i] 表示以 i 结尾的字符串是否可以被 wordDict 中组合而成
dp[0] = true // 空字符可以不从wordDict中选择，也能组成
for (var i = 1 ; i <= s.length ; i++) {
for (var j = 0 ; j < wordDict.length ; j++) {
var s1 = wordDict[j] // s1表示当前的字符串
var temp = s.substr(i-s1.length,s1.length)// temp表示字符串s中截取s1长度的临时串
// 临时串和当前s1相等时，可匹配
if (temp == s1) {
dp[i] = dp[i] || dp[i-s1.length]
}
}
}
return dp[s.length]
}
其他相关的公式，也都可以套用，这里就不在赘述。掌握了背包问题公式，大部分的问题都可以迎刃而解了！
