大家好，我是周一。
在上一篇归并排序中，我们讲了归并排序的基本概念、merge（合并）过程等，今天趁热打铁，我们来说说使用归并排序的一些常见面试题。
一、小和问题
1、题目描述：
在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个给定数组的小和。
2、例子：
数组为：[1,3,4,2,5]
1左边比1小的数：没有
3左边比3小的数：1
4左边比4小的数：1,3
2左边比2小的数：1
5左边比5小的数：1,3,4,2
所以小和为1+(1+3)+1+(1+3+4+2)=16
3、思路：
找每一个数右边比当前数大的个数，(个数 * 当前数) 的累加和就是结果。
这咋和归并排序联系上的呢，仔细想想，在左组和右组merge的时候，会比较数的大小，这时就可以在右组找到比左组当前数大的个数。
4、详细的参考代码：
/**
* 小和问题：在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。要求时间复杂度O(N*logN)
*
* @author Java和算法学习：周一
*/
public class SmallSum {
public static int smallSum(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return 0;
}
return process(arr, 0, arr.length - 1);
}
private static int process(int[] arr, int l, int r) {
if (l == r) {
return 0;
}
int mid = l + ((r - l) >> 1);
return process(arr, l, mid) + process(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
}
private static int merge(int[] arr, int l, int mid, int r) {
int[] help = new int[r - l + 1];
int i = 0;
int pL = l;
int pR = mid + 1;
int res = 0;
while (pL <= mid && pR <= r) {
// 当左组的数小于右组的数时， 当前右组的个数*当前数 的累加和 即是小和的结果
// 仔细和归并排序比较，发现就多了此处的代码。唯一的区别是，
// 等于的时候拷贝右组的，因为要在右组中找出比左组大的个数，肯定不能先拷贝左组的，不然咋找出个数
res += arr[pL] < arr[pR] ? (r - pR + 1) * arr[pL] : 0;
help[i++] = arr[pL] < arr[pR] ? arr[pL++] : arr[pR++];
}
while (pL <= mid) {
help[i++] = arr[pL++];
}
while (pR <= r) {
help[i++] = arr[pR++];
}
for (int j = 0; j < help.length; j++) {
arr[l + j] = help[j];
}
return res;
}
/**
* 对数器方法
*/
public static int comparator(int[] arr) {
int res = 0;
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
res += arr[j] < arr[i] ? arr[j] : 0;
}
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
int maxSize = 100;
int maxValue = 100;
int testTimes = 100000;
boolean isSuccess = true;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
int[] arr1 = generateArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
if (smallSum(arr1) != comparator(arr2)) {
printArray(arr1);
printArray(arr2);
isSuccess = false;
break;
}
}
System.out.println(isSuccess ? "Nice" : "Error");
}
//------------------------------------------ TEST METHODS ----------------------------------------------
public static int[] generateArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) ((maxValue + 1) * Math.random());
}
return arr;
}
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int value : arr) {
System.out.print(value + " ");
}
System.out.println();
}
}
二、逆序对问题
1、题目描述：
设有一个数组 [a1, a2, a3,... an]，对于数组中任意两个元素ai，aj，若i<j，ai>aj，则说明ai和aj是一对逆序对。求一个给定数组的逆序对个数。
2、例子：
3 5 2 1 0 4 9
所有逆序对是：(3,2)，(3,1)，(3,0)，(5,2)，(5,1)，(5,0)，(5,4)，(2,1)，(2,0)，(1,0)。逆序对个数为10。
3、思路：
合并的时候，从右往左合并，(此时右组位置 - mid位置) 的累加和 即是逆序对个数。
这又咋和归并排序联系上的呢，仔细想想，在左组和右组merge的时候，会比较数的大小，但是我要找到的是右边更小的，所以可以采用从右往左合并的方式；同时在处理相等的时候，需要先拷贝右组的，这样才能准确找出右组小的个数。
4、详细的参考代码：
/**
* 逆序对问题：设有一个数组 [a1, a2, a3,... an]，对于数组中任意两个元素ai，aj，若i<j 且 ai>aj，则说明ai和aj是一对逆序对。
* 求一个给定数组的逆序对个数。
*
* @author Java和算法学习：周一
*/
public class ReversePair {
public static int reversePairNum(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return 0;
}
return process(arr, 0, arr.length - 1);
}
private static int process(int[] arr, int l, int r) {
if (l == r) {
return 0;
}
int mid = l + ((r - l) >> 1);
return process(arr, l, mid) + process(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
}
private static int merge(int[] arr, int l, int mid, int r) {
// 辅助数组
int[] help = new int[r - l + 1];
// 辅助下标，由于从右往左合并，所以下标为数组最大值
int i = help.length - 1;
// 同理，左组第一个数位置为mid
int pL = mid;
// 右组第一个数为最后一个
int pR = r;
// 逆序对个数
int num = 0;
while (pL >= l && pR >= (mid + 1)) {
// 找到右组第一个比左组小的数，则当前满足要求的逆序对个数为 (pR - (mid + 1) + 1) 即是 (pR - mid)
num += arr[pL] > arr[pR] ? (pR - mid) : 0;
// 从右往左拷贝，相等的拷贝右组的
help[i--] = arr[pL] > arr[pR] ? arr[pL--] : arr[pR--];
}
// 左组和右组有且仅有一个未拷贝完，所以以下两个循环只会执行其中一个
while (pL >= l) {
help[i--] = arr[pL--];
}
while (pR > mid) {
help[i--] = arr[pR--];
}
// 拷贝回原数组
for (int j = 0; j < help.length; j++) {
arr[l + j] = help[j];
}
return num;
}
/**
* 对数器用于测试
*/
public static int comparator(int[] arr) {
int num = 0;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
if (arr[j] < arr[i]) {
num++;
}
}
}
return num;
}
public static void main(String[] args) {
int testTime = 1000000;
int maxSize = 100;
int maxValue = 100;
boolean isSuccess = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
if (reversePairNum(arr1) != comparator(arr2)) {
printArray(arr1);
printArray(arr2);
isSuccess = false;
break;
}
}
System.out.println(isSuccess ? "Nice" : "Error");
}
//--------------------------------------- 辅助测试的方法 ---------------------------------------------
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) ((maxValue + 1) * Math.random());
}
return arr;
}
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int value : arr) {
System.out.print(value + " ");
}
System.out.println();
}
}
OK，今天就暂时先说利用归并排序解决小和和逆序对问题的题目。
有时候，各种排序算法掌握它本身并不难，难的是你能够充分理解它的过程和精髓，更难的是在真正遇到实际题目的时候，能够想到用这种排序算法来解决它。所以，算法无捷径，唯有多练习，在有足够多的量，积累量变，然后才能迎来质变，那时才能信手拈来，加油。
