LeetCode探索（十）：120_三角形最小路径和

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前言

前面介绍了LeetCode中常见的算法，包括位运算、链表、分治算法等，并试着用这些方法去解决实际问题。本文我们将介绍另外一种算法：动态规划。

一般解决动态规划问题，可以分为以下几个步骤：

• 问题拆解，找到问题之间的具体联系

假如我们已知“1+1+1+1”的答案是 4，那么如何快速计算 “1+1+1+1+1”呢？我们可以拆解成 1 + “4 个 1 相加”，接着4 个 1 相加继续拆解…

• 状态定义

这里，后一个问题的答案 = 前一个问题的答案 + 1。

• 递推方程推导

我们定义数组 dp 存储子问题的结果，那么可知dp[i] = dp[i - 1] + 1。

接下来实践一下。

题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

思考

这是一道经典的动态规划问题。首先我们定义状态值triangle[i, j]为从三角形底部走到位置 (i, j) 的最小路径和，接着思考每一行之间的联系，发现可以由相邻一行进行计算求解，每一次取出相邻一行中相邻两个数中的较小值。那么我们只要写出状态方程，就可以解决这个问题了。

解答

我们定义triangle[i, j]为从三角形底部走到位置 (i, j) 的最小路径和，那么在位置 (i, j) 时，可由下一行相邻的两个数字中的较小值，与位置 (i, j) 的数字求和进行计算，这就是状态方程（递推方程）。代码如下：

var minimumTotal = function(triangle) {
  for(var i = triangle.length-2; i >= 0; i--){
    for(var j = 0; j < triangle[i].length; j++){
      triangle[i][j] = Math.min(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1]) + triangle[i][j];
    }
  }
  return triangle[0][0];
};

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。

• 空间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。

参考

• 120. 三角形最小路径和