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斐波那契博弈

简介

一堆有$n$个物品，如果有甲乙两个人。甲和乙轮流从这对物品中选取物品，第一次可以取$1\sim n-1$个物品，后一个人能取的物品数范围是$1$到前一个人取的物品数$2$倍，最后取光物品的人获胜。

思路

若甲先手，设当前物品数为$r$。

当$r\le 3$时，甲无法取胜，甲必败。

当$r=4$时，甲取$1$，乙剩$3$个无法取胜，故甲必胜。

当$r=5$时，甲若取$2$个及以上乙必胜。甲若取$1$个，乙取$1$个又变成了$r=3$的情况，乙胜。

根据上述过程，不难发现要想自己赢必须尽可能保证对方拿到斐波那契数。

也就是说，甲先手获胜需要满足$n$不是斐波那契数。

算法模板

首先我们需要能计算斐波那契数

1. 递归法

long long fib(int k){
    if(k<=1) return 1;
    else return fib(k-1)+fib(k-2);
}

2. 递推法

long long fib(int k){
    fib[0]=fib[1]=1;
    for(int i=2;i<=k;i++){
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    }
    return fib[k];
}

模板

由于递推法的线性复杂度，所以采取递推来实现斐波那契博弈。

bool fibG(int n){//这里返回的是先手玩家是否可以获胜
    fib[0]=fib[1]=1;
    for(int i=2;fib[i-2]<=n;i++){
        if(fib[i-2]==n) return false;
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    }
    return true;
}

例题

hdu2516

大概概括一下，就是$n$表示物品数，输出第一个人先手时哪个人能获胜，输出获胜的人(First win or Second win)，输入$0$表示结束。

#include <iostream>
using namespace std;
int fib[1001]; 
bool fibG(int n){//这里返回的是先手玩家是否可以获胜
    fib[0]=fib[1]=1;
    for(int i=2;fib[i-2]<=n;i++){
        if(fib[i-2]==n) return false;
        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
    }
    return true;
}
int main(){
    int n;
    while(cin>>n,n!=0){
        if(fibG(n)) cout<<"First win\n";
        else cout<<"Second win\n";
    }
    return 0;
}

尝试推广

如果规定先取完的人输，再看一下策略。

因为甲可以取$1\sim n-1$个，那么甲直接取$n-1$个，留下$1$个给乙，则乙必输。