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我们来看一个区间，这个区间的气球长这样

假设这个区间是个开区间，最左边索引 i，最右边索引 j 我这里说 “开区间” 的意思是，我们只能戳爆 i 和 j 之间的气球，i 和 j 不要戳 DP思路是这样的，就先别管前面是怎么戳的，你只要管这个区间最后一个被戳破的是哪个气球这最后一个被戳爆的气球就是 k 注意！！！！！

k是这个区间最后一个被戳爆的气球！！！！！

假设最后一个被戳爆的气球是粉色的，k 就是粉色气球的索引，然后由于 k 是最后一个被戳爆的，所以它被戳爆之前的场景是什么亚子？

是这样子的朋友们！因为是最后一个被戳爆的，所以它周边没有球了！没有球了！只有这个开区间首尾的 i 和 j 了！！这就是为什么DP的状态转移方程是只和 i 和 j 位置的数字有关

假设 dp[i][j] 表示开区间 (i,j) 内你能拿到的最多金币

那么这个情况下，你在 (i,j) 开区间得到的金币可以由 dp[i][k] 和 dp[k][j] 进行转移，如果你此刻选择戳爆气球 k，那么你得到的金币数量就是：

total = dp[i][k] + val[i] * val[k] * val[j] + dp[k][j]

注：val[i] 表示 i 位置气球的数字，然后 (i,k) 和 (k,j) 也都是开区间那你可能又想问了，戳爆粉色气球我能获得 val[i]*val[k]*val[j] 这么多金币我能理解(因为戳爆 k 的时候只剩下这三个气球了)，但为什么前后只要加上 dp[i][k] 和 dp[k][j] 的值就行了呀？

因为 k 是最后一个被戳爆的，所以 (i,j) 区间中 k 两边的东西必然是先各自被戳爆了的，左右两边互不干扰，大家可以细品一下

这就是为什么我们 DP 时要看 “最后一个被戳爆的” 气球，这就是为了让左右两边互不干扰，这大概就是一种分治的思想叭

所以你把 (i,k) 开区间所有气球戳爆，然后把戳爆这些气球的所有金币都收入囊中，金币数量记录在 dp[i][k]，同理，(k,j) 开区间你也已经都戳爆了，钱也拿了，记录在 dp[k][j]，所以你把这些之前已经拿到的钱 dp[i][k]+dp[k][j] 收着，再加上新赚的钱 val[i]*val[k]*val[j] 不就得到你现在戳爆气球 k 一共手上能拿多少钱了吗

而你在 (i,j) 开区间可以选的 k 是有多个的，见一开头的图，除了粉色之外，你还可以戳绿色和红色所以你枚举一下这几个 k，从中选择使得 total 值最大的即可用来更新 dp[i][j]

然后呢，你就从 (i,j) 开区间只有三个数字的时候开始计算，储存每个小区间可以得到金币的最大值然后慢慢扩展到更大的区间，利用小区间里已经算好的数字来算更大的区间就可以啦！撒花！

代码如下：

class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        // 创建一个辅助数组，并在首尾各添加1，方便处理边界情况
        int[] temp = new int[n+2];
        temp[0] = 1;
        temp[n+1] = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            temp[i+1] = nums[i];
        }
        int[][] dp = new int[n+2][n+2];
        // len表示开区间长度
        for(int len = 3; len <= n+2; len++){
            // i表示开区间左端点
            for(int i = 0; i <= n+2-len; i++){
                int res = 0; 
                // k为开区间内的索引
                for(int k = i+1; k < i+len-1; k++){
                    int left = dp[i][k];
                    int right = dp[k][i+len-1];
                    res = Math.max(res, left + temp[i] * temp[k] * temp[i+len-1] + right);
                }
                dp[i][i+len-1] = res;
            }
        }
        return dp[0][n+1];
    }
}

312. 戳气球

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