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前言

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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

6.5 线性变换的矩阵表达式

定义6

设$T$是线性空间$V_n$中的线性变换，在$V_n$中取定一个基$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$，如果这个基在变换$T$下的像（用这个基线性表示）为：

记$T(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(T(\alpha_1),T(\alpha_2),...,T(\alpha_n))$，则(1)式可以表示为

$T(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)A$

其中

那么，$A$就称为线性变换$T$在基$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$的矩阵

定理2

设线性空间$V_n$中取定两个基

$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n、\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$

由基$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$的过渡矩阵为$P$，$V_n$中的线性变换$T$在这两个基下的矩阵依次为$A、B$，那么$B=P^{-1}AP$

证明

基$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$的过渡矩阵为$P$，有

$(\beta_1,\beta_2,....,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P，P可逆$

变形有

$(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)=(\beta_1,\beta_2,....,\beta_n)P^{-1}$

又$V_n$中的线性变换$T$在这两个基下的矩阵依次为$A、B$，有

那么，有

$\quad(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)B=T(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)=T((\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P)\\ \quad \\ =T(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)P=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)AP\\ \quad \\ =(\beta_1,\beta_2,....,\beta_n)P^{-1}AP$

因为$(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)$线性无关，所以

$B=P^{-1}AP$

$\beta=(\beta_1,\beta_2,...,\beta_n)$线性无关，可以说明$\beta$可逆，即存在$\beta^{-1}$ 在等式$\beta B=\beta P^{-1}AP$中，同时左乘$\beta^{-1}$即可得到$B=P^{-1}AP$

定义7

线性空间$T$的像空间$T(V_n)$的维数，称为线性变换$T$的秩

• 若$A$是$T$的矩阵，则$T$的秩就是$R(A)$
• 若$T$的秩是$r$，则$T$的核$S_T$的维数为 $n-r$

举例

例11

在$P[x]_3$中，取基

$p_1=x^3,p_2=x^2,p_3=x,p_4=1$

求微分运算$D$的矩阵

解答：

对每一个基进行线性变换（具体到这里就是微分运算$D$，理解为求一阶导数）

故

所以微分运算$D$在这组基下的矩阵为

分别对$p_i$进行线性变换，得到$T(p_i)$，可以发现，结果是作为$A$的列向量

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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