JS算法之1~n整数中1出现的次数及数字序列中某一位的数字

这是我参与11月更文挑战的第2天，活动详情查看：2021最后一次更文挑战

1~n整数中1出现的次数

剑指Offer 43.1～n整数中1出现的次数

难度：困难

题目：leetcode-cn.com/problems/1n…

输入一个整数n，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的个数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例1：

输入：n = 12
输出：5

示例2：

输入：n = 13
输出：6

限制：1 <= n < 2^31

题解

归纳法

这道题纯用归纳解决

从个数到最高位遍历，将n看成「high、cur、low」这三个部分，其中cur为当前位数，high为cur之前的值，low为cur之后的值，根据当前位数，设digit为1、10、100......通过数学归纳法推理出：

• 当cur = 0，执行res += high * digit
• 当cur = 1，执行res += high * digit + low + 1
• 当cur > 1，执行res += high * digit + digit

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var countDigitOne = function (n) {
  let digit = 1,
    res = 0;
  let high = Math.floor(n / 10),
    cur = n % 10,
    low = 0;
  while (high !== 0 || cur !== 0) {
    if (cur === 0) res += high * digit;
    else if (cur === 1) res += high * digit + low + 1;
    else res += high * digit + digit;
    low += cur * digit;
    cur = high % 10;
    high = Math.floor(high / 10);
    digit *= 10;
  }
  return res;
};

• 时间复杂度：O($logN$)
• 空间复杂度：O($1$)

数字序列中某一位的数字

剑指Offer 44.数字序列中某一位的数字

难度：中等

题目：leetcode-cn.com/problems/sh…

数字以0123456789101112131415...的格式序列化到一个字符序列中。在这个序列中，第5位（从下标0开始计数）是5，第13位是1，第19位是4，等等。

请写一个函数，求任意第n位对应的数字。

示例1：

输入：n = 3
输出：3

示例2：

输入：n = 11
输出：0

限制：0 <= n < 2^31

题解

找规律

将101112...中的每一位称为数位n，将10，11，12...称为数字num，每digit位数的起始数字（1，10，100...）称为start。

数字氛围	位数digit	数字数量	数位数量
1～9	1	9	9
10～99	2	90	180
100～999	3	900	2700
...	...	...	...
start~end	digit	9 * start	9 * start * digit

由表格得出：

• digit = digit + 1
• start = start * 10
• count = 9 * start * digit

求解思路：

• 确定n所在数字的位数，即digit
• 确定n所在的数字，即num
• 确定n是num中的哪一数位，并返回结果

1. 确定n所在位数：

数字氛围	位数	数位数量	n = n - count
1~9	1	9	n - 9
10~99	2	180	n - 9 -180
100~999	3	2700	n - 9 - 180 -2700
start~end	digit	9 * start * digit	直至n <= count

由表格得出：

• 所求位数在某个digit位数中
• 所求位数为从数字start开始的第n个位数

2. 确定n所在的数字

digit = 2，start = 10

	1	0	1	1	1	2	...
n	1	2	3	4	5	6	...
(n - 1)	0	1	2	3	4	5	...
(n - 1) / 2	0	0	1	1	2	2	...

由表格得出：

• 数字num = start + (n - 1) / digit

3. 确定n是num中的哪一数位

	1	0	1	1	1	2	...
n	1	2	3	4	5	6	...
(n - 1)	0	1	2	3	4	5	...
(n - 1) % 2	0	1	0	1	0	1	...

由表格得出：

• 所求数位在num的第(n - 1) % 2位

整体实现代码如下：

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var findNthDigit = function (n) {
  let digit = 1,
    start = 1,
    count = 9;
  while (n > count) {
    n -= count;
    digit += 1;
    start *= 10;
    count = digit * start * 9;
  }
  let num = Math.floor(start + (n - 1) / digit);
  return Number(num.toString(10)[(n - 1) % digit])
};

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