快速排序

主要思路

• 快速排序的主要思路为分治算法，两边分而治之，最后合二为一。
• 定义两个指针，分别指向左右两端，使左右两端的指针向中间的分界点移动，如果左半部分的值小于分界值，则移动指针，如果大于分界值，则停止移动，进行等待；然后进行右半部分指针的移动，与左半指针同理，若右半指针小于分界值，则也停止移动，并与左半停止移动的指针的值进行交换。
• 简单说就是不满足条件就停下，然后交换值

算法步骤

1. 确定分界点 $a[l]、a[r]、a[(l+r)/2]$。
2. 调整范围，将大于x的数放在x的右半部分，将小于x的数放在x的左半部分。
3. 递归处理左右的两半部分。

代码模板

void quick_sort(int q[],int l,int r){
    if(l >= r) return;

    int i = l-1 , j=r+1, x = q[(l+r)/2];
    
    //调整范围大小
    while (i<j){
        do i++ ; while (q[i] < x);
        do j-- ; while (q[j] > x);
        if(i < j) swap(q[i],q[j]);
    }
    
    //递归处理左右两半部分
    quick_sort(q,l,j);
    quick_sort(q,j+1,r);
}

例题-AcWing 786. 第k个数

给定一个长度为 n 的整数数列，以及一个整数 k，请用快速选择算法求出数列从小到大排序后的第 k 个数。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 k。 第二行包含 n 个整数（所有整数均在 $1-10^9$ 范围内），表示整数数列。

输出格式

输出一个整数，表示数列的第 k 小的数。

数据范围

$1≤n≤100000, 1≤k≤n$

输入样例：

5 3
2 4 1 5 3

输出样例：

3

题解代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 10e6+10;
int q[N];
int n,k;
void quick_sort(int q[],int l ,int r){
    if(l >= r) return;

    int i=l-1,j=r+1,x= q[l+r >>1];
    while(i<j){
        do i++; while(q[i]<x);
        do j--; while(q[j]>x);
        if(i<j) swap(q[i],q[j]);
    }
    quick_sort(q,l,j);
    quick_sort(q,j+1,r);
}
int main(void){
    scanf(("%d %d"),&n,&k);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf(("%d"),&q[i]);
    }
    
    quick_sort(q,0,n-1);

    printf(("%d"),q[k-1]);
    return 0;
}

归并排序

主要思路

• 同样为分治思想，分阶段取为一半处。
• 主要操作是归并，即将两半部分按照顺序进行合二为一

算法步骤

1. 确定分界点 $mid=(l+r)/2$。
2. 递归排序左右半部分。
3. 最后进行归并处理，将两半部分合二为一。

代码模板

void merge_sort(int q[], int l , int r){
    if(l >= r) return;

    int mid = l+r >> 1;
    
    //递归处理左右两半部分
    merge_sort(q,l,mid);
    merge_sort(q,mid+1,r);
    
    //归并操作
    int k=0,i=l,j=mid+1;
    while(i<=mid && j<=r)
        if(q[i]<=q[j]) temp[k++] = q[i++];
        else temp[k++] = q[j++];
    while(i<=mid) temp[k++] = q[i++];
    while(j<=r) temp[k++] = q[j++];
    
    //复制到原数组中
    for(i=l,j=0 ; i <= r ; i++ , j++) q[i] = temp[j];
}

例题-AcWing 788. 逆序对的数量

给定一个长度为 n 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。 逆序对的定义如下：对于数列的第 i 个和第 j 个元素，如果满足 i<j 且 a[i]>a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式

第一行包含整数 nn，表示数列的长度。 第二行包含 nn 个整数，表示整个数列。

输出格式

输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围

$1≤n≤100000$
数列中的元素的取值范围 [1,109][1,109]。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

简单分析

逆序对的位置可以分为三个位置
无论左右两半边如何进行交换位置，都不影响第三步的计数

1. 左半边的逆序对数量：merge_sort(l,mid)
2. 右半边的逆序对数量：merge_sort(mid+1,r)
3. 左右都有的逆序对的数量：$S_j=mid-i+1$ 的和

题解代码

#include<iostream>
using namespace std;
typedef  long long  LL;
const int N = 10e6+10;
int q[N],temp[N];
int n,k;

LL merge_sortFind(int l ,int r){
    if(l>=r) return 0;

    int mid  = l+r >> 1;

    LL res = merge_sortFind(l,mid) + merge_sortFind(mid+1,r);

    int k=0,i=l,j=mid+1;

    while(i<=mid && j<=r){
        if(q[i]<=q[j]) temp[k++] = q[i++];
        else{
            temp[k++] = q[j++];
            res += mid -i + 1;
        }
    }
    while(i<=mid) temp[k++] = q[i++];
    while(j<=r) temp[k++] = q[j++];

    for(i=l,j=0;i<=r;i++,j++) q[i] = temp[j];

    return res;
}

int main(void){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>q[i];
    }
    LL res = merge_sortFind(0,n-1);
    cout<<res;
    return 0;
}