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【算法】时间复杂度

【算法】时间复杂度

公众号「码农小奎」 算法---时间复杂度

算法就是为了提高代码运行效率,衡量算法的性能有两个考量指标:

时间复杂度与空间复杂度,它会伴随你学习算法的始终。

今天先谈一谈时间复杂度,在学习时间复杂度之前,我建议你先思考为什么需要复杂度。

插一句,很多时候,了解一个知识为什么出现可能比知识本身还要重要,无论是算法学习还是整个计算机领域。

为什么需要分析复杂度

时间复杂度,不就是衡量代码的执行时长吗,我直接写好代码在机子上一跑不就知道了吗。

为什么要多此一举?只是为了更学术、更官方吗?

  1. 测试环境

    同样的代码在不同的机器上执行速度不同,每台机器的配置高低会影响代码执行效率。甚至,在你的电脑上,A算法比B算法快,到了我的电脑上反而B算法更快。

  2. 数据规模

    拿排序来说,对十个数据排序和对十万个数据排序当然执行时间不一样,数据规模太小则无法反应算法的性能。举个栗子,快速排序是优于选择排序的,但数据规模较小时,快排却没选排快。

那怎么办,难道每次介绍算法前都要写上:在XXX配置和XXX数据规模下,算法执行效率XXX。

那太麻烦了,为此引入一个不需要考虑以上差异的衡量算法性能的标准,就是今天所说的时间复杂度分析

大 O 表示法

知道了时间复杂度的由来,再谈谈该怎么表示。算法的执行效率就是看算法的执行时间,那怎么在不执行代码的情况下知道执行时间呢?

最朴素的办法就是看代码执行了多少行呗,举个栗子,看一段简单代码:

int func(int n) {
  int sum = 0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    sum = 0;
    for(int j = 1; j <= n; ++j) {
      sum = i + j;
    }
  }
  return sum;
}
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作为粗略估计,假设每行代码的执行时间一样,记为TIME。现在来计算这段代码执行时间是多少,第2行执行一次只需要一个TIME,第3、4行外层循环执行了n次,所以需要2n个TIME,而第5、6行内层循环执行了n^2次,所以需要2n^2个TIME。

所以,这段代码的执行时间T(n) = (2n^2 + 2n + 1) * TIME。

TIME可以认为是一个常量,代表一行代码的平均执行时间。然后可以发现,执行时间与代码执行次数n成正比。

为了方便表示,我们把代码执行次数记为f(n),那么上面那个例子的代码执行次数f(n) = 2n^2 + 2n + 1。

所以T(n) = f(n) * TIME,可以看出代码执行时间与代码执行次数成正比,可以进一步表示为:T(n) = O( f(n) ),O表示T(n)与f(n)成正比。

上面那个例子用大O表示法就是T(n) = O(2n^2 + 2n + 1),请注意,大O表示法其实不指代码的具体运行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

当数据规模很大时,也就是n很大时,公式中的常量、系数和低阶都可以忽略,因为此时这三部分对n的增长趋势影响。

最终,上面那个例子的大O复杂度表示法就是 T(n) = O( n^2 )。

常见时间复杂度

常见原则:

  1. 加法原则:

    例如顺序执行三个循环,第一个循环执行100次,第二个循环执行n次,第三个循环执行n^2次,T(n) = O(100 + n + n^2),忽略常量和低阶就是T(n) = O( n^2 )。

  2. 乘法原则:

    嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。例如两层嵌套循环,外层n次,内存n次,则T(n) = O(n * n)。

常见复杂度案例:

  • 常量阶:O( 1 ),并不是代表只执行了1行代码,只要算法里没有循环和递归,哪怕顺序执行了一万行代码,也算O( 1 )。
  • 对数阶:O( logn )、O( nlogn ),常见于递归树的分析,也是比较难分析的一类复杂度。
  • 线性阶:O( n ),常见于循环遍历。
  • k方阶:O( n^2 )、O( n^3 )、...O( n^k ),常见于嵌套循环。

以上罗列的复杂度量级可以称为多项式量级,另外还有两个非多项式量级

指数阶O( 2^n ) 和 阶乘阶O( n! ),非多项式复杂度是很低效的算法,不再展开细说。

END

为了不考虑机器配置和数据规模的差异所带来的影响,引入了时间复杂度这个概念。

而时间复杂度就是描述算法执行时间随数据规模增长所表现的趋势。

在学习算法的过程中,试着分析所学算法的时间复杂度,慢慢的会对时间复杂度有更深入的理解。


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