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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

 

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习

知其然 知其所以然！

若查看数学公式不全或显示错误

可以查看：MML学习笔记（九）：线性代数之矩阵的秩、线性方程组的解

3.2 矩阵的秩

秩的第一种定义

对于一个m*n矩阵$A$，一定存在一个标准形矩阵F（由A经过初等变化得到） ​

数r就是A的行阶梯形矩阵中非零行的个数，也就是矩阵A的秩

k阶子式子

在m * n矩阵A中，任意取k行、k列(k<=m 且 k<=n) ,位于这些行列交叉处的$k^2$个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式子 ​ m*n矩阵A的k阶子式一共有$C^k_m * C^k_n$个 ​

秩的第二种定义

假设在矩阵A中，存在一个不等于0的r阶子式D，且所有的 r+1 阶子式（存在的情况下）全等于0，那么D就称为矩阵A的最高阶非零子式，数r就是矩阵A的秩，记作$R(A)=r$

规定零矩阵的秩等于0

当A中所有的r+1阶子式都为0时，那么所有高于r+1阶的子式也全等于0.因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式，而A的秩$R(A)$就是A的非零子式的最高阶数 ​ 若A为m*n矩阵，那么有$0 \leq R(A) \leq min \{ m,n \}$

若A为n阶子式

• 当|A|！=0时，R(A)=n
• 当|A|=0时，R(A)<n

说明，可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，而不可逆矩阵的秩则小于矩阵的阶数。所以，可逆矩阵称为满秩矩阵，不可逆矩阵为降秩矩阵

（以上为n阶方阵的情况下， 若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。 既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。 行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。）

定理2

若$A～B$，则有$R(A)=R(B)$

推论

若可逆矩阵P、Q，使得，则$R(A)=R(B)$

所以，依据定理2，求一个矩阵的秩，只需要将矩阵进行一系列初等行变化变为行阶梯形矩阵，其中非零行的行数就是该矩阵的秩

秩的基本性质

矩阵秩的一些基本性质 （1）$0 \leq R(A_{m*n}) \leq min\{ m,n \}$

（2）$R(A^T)=R(A)$

（3）若$A～B$，则有$R(A)=R(B)$

（4）若P、Q可逆，则$R(PAQ)=R(A)$

（5） 特别地，当B=b为非零列向量时，有$R(A) \leq R(A,b) \leq R(A)+1$

（6）$R(A+B) \leq R(A)+R(B)$

（7）$R(AB) \leq min \{ R(A),R(B) \}$

（8）若$A_{m*n}B_{n*l}=O$，则$R(A) + R(B) \leq n$

证明： $max \{ R(A), R(B)\} <= R(A, B) <= R(A) + R(B)$

首先 毋庸置疑

$R(A) \leq R(A,B) 、R(B) \leq R(A,B)$

推出 ​ $max\{ R(A), R(B) \} <= R(A,B)$

设$R(A)=r、R(B)=t$ ​ 分别对A、B进行列变换 将其转换为 **列阶梯形 **矩阵，设为$\tilde{A}、\tilde{B}$ ​ 则$\tilde{A}、\tilde{B}$中分别含有r个和t个非零列

所以 ​ $A \sim \tilde{A} (c,列变换) = (\tilde{a_1},\tilde{a_2}...\tilde{a_r},0...0)$ $B \sim \tilde{B} (c,列变换) = (\tilde{b_1},\tilde{b_2}...\tilde{b_r},0...0)$

所以 $(A,B) \sim (\tilde{A},\tilde{B})$

因为$(\tilde{A},\tilde{B})$中有 r+t 个非零列 ​

所以 $R(\tilde{A},\tilde{B}) \leq r+t$

所以 R(A,B) = R(\tilde{A},\tilde{B}) \leq r + t \tag2

综上 由(1)(2)式 得

$max\{R(A), R(B) \} <= R(A, B) <= R(A) + R(B)$

证明：$R(A+B) \leq R(A)+R(B)$

首先设$A、B$为m*n矩阵

对矩阵$(A+B,B)$通过做列变换得到 $(A,B)$

分别减去对应加上的列即可

所以 $(A+B,B) \sim (A,B)(c,列变换)$ 所以有 $R(A+B) \leq R(A+B,B)=R(A,B) \leq R(A)+R(B)$

3.3 线性方程组的解

定理3

对于$n$元线性方程组 $Ax=b$ （1）无解的充分必要条件是 $R(A)<R(A,b)$ （2）有唯一解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)=n$ （3） 有无限多解的充分必要条件是 $R(A)=R(A,b)<n$

定理4

$n$元齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是 $R(A)<n$

首先$Ax=0$ 肯定有一个0解 还需要有非零解 说明解不止一个 所以 $R(A)=R(A,0)<n$

定理5

线性方程组$Ax=b$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,b)$

定理6

矩阵方程组$Ax=B$有解的充分必要条件是$R(A)=R(A,B)$

结语

说明：

• 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
• 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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