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Given an integer array nums, return the length of the longest strictly increasing subsequence.
A subsequence is a sequence that can be derived from an array by deleting some or no elements without changing the order of the remaining elements. For example, [3,6,2,7] is a subsequence of the array [0,3,1,6,2,2,7].
Example 1:
Input: nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
Output: 4
Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.
Example 2:
Input: nums = [0,1,0,3,2,3]
Output: 4
Example 3:
Input: nums = [7,7,7,7,7,7,7]
Output: 1
Constraints:
1 <= nums.length <= 2500-104 <= nums[i] <= 104
Follow up: Can you come up with an algorithm that runs in O(n log(n)) time complexity?
解法一：
使用动态规划求解。这道题让我们求最长递增子串 Longest Increasing Subsequence 的长度，简称 LIS 的长度。首先来看一种动态规划 Dynamic Programming 的解法，这种解法的时间复杂度为 O(n2)，类似 brute force 的解法，维护一个一维 dp 数组，其中 dp[i] 表示以 nums[i] 为结尾的最长递增子串的长度，对于每一个 nums[i]，从第一个数再搜索到i，如果发现某个数小于 nums[i]，更新 dp[i]，更新方法为 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)，即比较当前 dp[i] 的值和那个小于 num[i] 的数的 dp 值加 1 的大小，就这样不断的更新 dp 数组，到最后 dp 数组中最大的值就是要返回的 LIS 的长度，参见代码如下：
class Solution {
fun lengthOfLIS(nums: IntArray): Int {
var result = 1
val length = nums.size
val dp = IntArray(size = length, init = { 1 })
for (i in 1 until length) {
for (j in 0 until i) {
if (nums[j] < nums[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
}
}
result = Math.max(result, dp[i])
}
return result
}
}
解法二：
下面来看一种优化时间复杂度到 O(nlgn) 的解法，这里用到了二分查找法，所以才能加快运行时间。思路是，先建立一个数组 lis，把首元素放进去，然后比较之后的元素，如果遍历到的新元素比 lis 数组中的首元素小的话，替换首元素为此新元素，如果遍历到的新元素比 lis 数组中的末尾元素还大的话，将此新元素添加到 lis 数组末尾(注意不覆盖原末尾元素)。如果遍历到的新元素比 lis 数组首元素大，比尾元素小时，此时用二分查找法找到第一个不小于此新元素的位置，覆盖掉位置的原来的数字，以此类推直至遍历完整个 nums 数组，此时 lis 数组的长度就是要求的 LIS 的长度，特别注意的是 lis 数组的值可能不是一个真实的 LIS，比如若输入数组 nums 为 {4, 2， 4， 5， 3， 7}，那么算完后的 ends 数组为 {2， 3， 5， 7}，可以发现它不是一个原数组的 LIS，只是长度相等而已，千万要注意这点。参见代码如下：
class Solution {
fun lengthOfLIS(nums: IntArray): Int {
val lis = mutableListOf<Int>()
lis.add(nums[0])
for (i in 1 until nums.size) {
if (nums[i] > lis[lis.lastIndex]) {
lis.add(nums[i])
} else if (nums[i] < lis[0]) {
lis[0] = nums[i]
} else {
var left = 0
var right = lis.size
var mid: Int
while (left < right) {
mid = (left + right) / 2
if (lis[mid] < nums[i]) {
left = mid + 1
} else {
right = mid
}
}
lis[right] = nums[i]
}
}
return lis.size
}
}
