白话机器学习-逻辑斯蒂回归-理论+实践篇

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概述

前面讲述了线性回归，线性回归的模型 $y = w^T + b$ 。模型的预测值逼近真实标记y。那么可否令模型的预测值逼近真实标记y的衍生物呢。比如说模型的预测值逼近真实标记的对数函数。下面引入逻辑回归的知识。

转换函数

我们需要一个单调可微函数将分类任务的真实标记y与线性回归模型的预测值联系起来，所以需要一个转换函数将线性模型的值与实际的预测值关联起来。考虑二分类问题，其输出标记是y属于{0，1}，而线性模型产生的预测值是 $z = w^T + b$ 是实值，那么我们需要将这个实值转化成0/1值，最理想的函数是单位阶跃函数。

单位阶跃函数

单位阶跃函数（unit-step function），如下图，如果预测值大于零则判断为正例；如果预测值小于零则判断为反例；为零的则任意判断。如下图所示。

$\begin{equation} y = \begin{cases} 0 & \mbox{if z < 0}\\ 0.5 & \mbox{if z = 0} \\ 1 & \mbox{if z > 0} \end{cases} \end{equation}$

sigmoid function

从图中可以看出，单位阶跃函数不连续因此不适合用来计算。这里我们引入sigmoid函数，进行计算。 $y = \dfrac{1}{1 + e^{-z}}$

将z值转化为一个接近0或1的y值，并且其输出值在z=0的附近变化很陡。那么我们现在的模型变化成

$y = \dfrac{1}{1 + e^{-(w^T + b)}}$

enter image description here

几率与对数几率

几率：如果将y作为正例的可能性，1-y作为负例的可能性，那么两者的比值 $\dfrac{y}{1 - y}$ 称为几率，反应了x作为正例的相对可能性。则根据sigmoid函数可得。

$ln\dfrac{y}{1 - y} = w^T + b$

$ln\dfrac{y}{1 - y}$ 称为对数几率；

**由此可以看出， $y = \dfrac{1}{1 + e^{-(w^T + b)}}$ 实际上是用线性模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为“对数几率回归” **

下面介绍损失函数以及计算方法。

损失函数

因为： $ln\dfrac{y}{1 - y} = w^T + b$ 。所以

$p(y=1|x) = \dfrac{e^{(w^T + b)}}{1 + e^{(w^T + b)}}$

$p(y=0|x) = \dfrac{1}{1 + e^{(w^T + b)}}$

我们采用极大似然估计法进行求解，由于是二分类问题，所以符合概率里面的0-1分布，所以似然函数为令 $p(y=1|x) = \dfrac{e^{(w^T + b)}}{1 + e^{(w^T + b)}} = f(x)$ ， $p(y=0|x) = \dfrac{1}{1 + e^{(w^T + b)}}=1-f(x)$

$L(w)=\prod_{i=1}^{n}[f(x_i)]^{y_i}[1 - f(x_i)]^{1- y_i}$

对数似然函数为：

$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_ilnf(x_i) + (1 -y_i)ln(1 - f(x_i))]$ $l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_iln\dfrac{f(x_i)}{1 - f(x_i)} + ln(1-f(x_i))]$ $l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$

求这个函数的最大值，加个负号，求最小值。运用前面章节介绍的梯度下降和牛顿法都可以求解，这里不再赘述。

代码实战

这里讲述通过梯度上升法进行求解，首先，我们需要界定、分析下这个问题，那么我们需要什么样的信息呢？

输入信息的变量

样本：包括特征与分类标记、正例与负例
回归系数的初始化；
步长的计算；
损失函数的已经确定；
损失函数的梯度的计算；
通过损失函数的梯度和步长确实每次迭代；
迭代的停止条件；

输入数据（确定上面的变量）

样本信息：包括特征、分类标记（从机器学习实战中提取，后续将贴出；
回归函数的系数都初始化为1.0；
为简单起见，设置步长alpha = 0.001；
损失函数，上面已经介绍：

$l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$

损失函数的梯度： $[\frac {\partial f^2} {\partial x_i \partial y_j}]_{nxn}$ $l(w)=lnL(w)=\sum_{i = 1}^n [y_i(wx_i) - ln(1 + e^{wx_i})]$

$[\frac {\partial (lnL(w))} {\partial w}] = \sum_{i = 1}^n[y_ix_i - \dfrac{e^{(wx_i)}}{1 + e^{(wx_i)}}x_i] = \sum_{i = 1}^n[x_i (y_i- \dfrac{e^{(wx_i)}}{1 + e^{(wx_i)}})]$

$[\frac {\partial (lnL(w))} {\partial w}] = \sum_{i = 1}^n[x_i (y_i- \dfrac{1}{1 + e^{(-wx_i)}})]$

迭代的停止条件：maxCycles = 500，迭代500次。

代码

def loadDataSet():
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr = line.strip().split()
        dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
    dataMatrix = mat(dataMatIn)             #convert to NumPy matrix
    labelMat = mat(classLabels).transpose() #convert to NumPy matrix
    m,n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.001
    maxCycles = 500
    weights = ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):              #heavy on matrix operations
        h = sigmoid(dataMatrix*weights)     #matrix mult
        error = (labelMat - h)              #vector subtraction
        weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error # 这里就是用梯度迭代修改参数的值
    return weights

样本数据

-0.017612	14.053064	0
-1.395634	4.662541	1
-0.752157	6.538620	0
-1.322371	7.152853	0
0.423363	11.054677	0
0.406704	7.067335	1
0.667394	12.741452	0
-2.460150	6.866805	1
0.569411	9.548755	0
-0.026632	10.427743	0
0.850433	6.920334	1
1.347183	13.175500	0
1.176813	3.167020	1
-1.781871	9.097953	0
-0.566606	5.749003	1
0.931635	1.589505	1
-0.024205	6.151823	1
-0.036453	2.690988	1
-0.196949	0.444165	1
1.014459	5.754399	1
1.985298	3.230619	1
-1.693453	-0.557540	1
-0.576525	11.778922	0
-0.346811	-1.678730	1
-2.124484	2.672471	1
1.217916	9.597015	0
-0.733928	9.098687	0
-3.642001	-1.618087	1
0.315985	3.523953	1
1.416614	9.619232	0
-0.386323	3.989286	1
0.556921	8.294984	1
1.224863	11.587360	0
-1.347803	-2.406051	1
1.196604	4.951851	1
0.275221	9.543647	0
0.470575	9.332488	0
-1.889567	9.542662	0
-1.527893	12.150579	0
-1.185247	11.309318	0
-0.445678	3.297303	1
1.042222	6.105155	1
-0.618787	10.320986	0
1.152083	0.548467	1
0.828534	2.676045	1
-1.237728	10.549033	0
-0.683565	-2.166125	1
0.229456	5.921938	1
-0.959885	11.555336	0
0.492911	10.993324	0
0.184992	8.721488	0
-0.355715	10.325976	0
-0.397822	8.058397	0
0.824839	13.730343	0
1.507278	5.027866	1
0.099671	6.835839	1
-0.344008	10.717485	0
1.785928	7.718645	1
-0.918801	11.560217	0
-0.364009	4.747300	1
-0.841722	4.119083	1
0.490426	1.960539	1
-0.007194	9.075792	0
0.356107	12.447863	0
0.342578	12.281162	0
-0.810823	-1.466018	1
2.530777	6.476801	1
1.296683	11.607559	0
0.475487	12.040035	0
-0.783277	11.009725	0
0.074798	11.023650	0
-1.337472	0.468339	1
-0.102781	13.763651	0
-0.147324	2.874846	1
0.518389	9.887035	0
1.015399	7.571882	0
-1.658086	-0.027255	1
1.319944	2.171228	1
2.056216	5.019981	1
-0.851633	4.375691	1
-1.510047	6.061992	0
-1.076637	-3.181888	1
1.821096	10.283990	0
3.010150	8.401766	1
-1.099458	1.688274	1
-0.834872	-1.733869	1
-0.846637	3.849075	1
1.400102	12.628781	0
1.752842	5.468166	1
0.078557	0.059736	1
0.089392	-0.715300	1
1.825662	12.693808	0
0.197445	9.744638	0
0.126117	0.922311	1
-0.679797	1.220530	1
0.677983	2.556666	1
0.761349	10.693862	0
-2.168791	0.143632	1
1.388610	9.341997	0
0.317029	14.739025	0

获得结果

>>> import logRegres
>>> param_mat, label_mat = logRegres.loadDataSet()
>>> 
>>> logRegres.gradAscent(param_mat, label_mat)
matrix([[ 4.12414349],
        [ 0.48007329],
        [-0.6168482 ]])
>>>

这里每次迭代采用的是全部的样本，计算量较大，可以修改为每次迭代选取随机的样本。

参考

机器学习实战

白话机器学习之（四）逻辑回归