1. 介绍

约瑟夫环大概介绍如下：n个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报m的人出局，下一个人接着从1开始报数，如此循环，直到所有人出局。详细介绍看这里。

解决约瑟夫环问题，我觉得可以分两种情况。

只求结果，即只要求算出最后出局的人。
求全过程，即要算出每轮出局的人。

2. 情况一：只求结果

先介绍约瑟夫问题的两种特例，约定符号含义：n代表总人数，m表示报该数的人出局，给这n个人从1开始编号(注：这里从1开始编号是为了方便理解)。

2.1 特例1：n是2的次幂，m是2

当n是2时，最后出局的人(胜利者)显然是1。
当n是4时，那么出局顺序为2、4、3，胜利者是1。
当n是8时，那么出局顺序为2、4、6、8、3、7、5，胜利者是1。
......

不难发现，在这种特例下，胜利者始终是1号。

2.2 特例2：n是任意数，m是2

比如当n为12，m为2时，其约瑟夫环如下图所示：

当8号出局后，就剩下8人了，而2^3=8，于是此时的情况就符合特例1了。那么8号的下一位9号就相当于特例1里的1号，所以9号就是最终胜利者。
综上所述，当m为2时，解决约瑟夫环问题的思路就是找出什么时候剩下的人数为2的次幂，其下一轮报1的人就是最终胜利者。

2.3 任意情况：n和m都是任意数

在这种情况下，解决问题的方法就是使用递归。为了方便计算，这里从0开始编号，即0~(n-1)。比如当n=7(即编号为0~6)，m=3时，其每次出局的情况如下图所示：每出局一人，就把剩余的所有人都往左移m位(这里的m是3)，这样每次的出局情况就用黄色格子标识。显然可以看出，无论什么情况下，最后胜利者(红字)所在的位置必定是0号位，那么他在上一轮(第6轮)的位置就是(0+3)%2=1。这里"+3"的含义就是右移，因为他是通过左移来到这轮的，要想返回到上一轮就得右移，但要考虑越界的情况所以要对n求余，n是该轮所剩人数。在第5轮的位置就是(1+3)%3=1，如此循环就能得出胜利者在刚开始的位置。
至此，计算约瑟夫环结果的思路已全部给出，下面给出实现的Java代码。

2.4 Java代码

public class Test01 {
    /**
     * 约瑟夫环问题，只求结果
     * @param n 该轮所剩的人数
     * @param m 报该数的人出局
     * @return 胜利者的下标，从0开始
     */
    public static int josephus(int n, int m) {
        if (m == 2) {       // m=2时的特殊情况
            int k = 1;
            while (k <= n) {
                k = k << 1;
            }
            k = k >> 1;
            return (n - k) * 2;
        } else {            // 普遍情况，使用递归
            if (n == 1) {
                return 0;
            } else {
                return (josephus(n-1, m) + m) % n;
            }
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        // 由于函数返回的是从0开始编号的下标，所以还要再加1
        System.out.println(josephus(7, 3) + 1);
    }
}

3. 情况二：求全过程

3.1 思路

解决方案是用数组模拟出局情况。大致思路如下：

定义一个count变量，初始值为1，用于报数
遍历数组，每访问一个新的元素，count自增，当count等于m时，则给该元素做标记，输出该元素的位置并把count置为1
若当前访问的元素已做过标记，则跳过该元素，继续访问下一个元素
重复上述的第2步和第3步，直至数组的所有元素都做过标记

3.2 Java代码

public class Test02 {
    /**
     * 约瑟夫环问题，求全过程
     * @param n 总人数
     * @param m 报该数的人出局
     */
    public static void josephus(int n, int m) {
        int[] nums = new int[n + 1];
        int count = 1;
        int flag = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            nums[i] = i;
            flag += i;
        }
        while (flag > 0) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (nums[i] == 0) {
                    continue;
                }
                nums[i] = count;
                count++;
                if (nums[i] == m) {
                    System.out.printf(i + " ");
                    count = 1;
                    nums[i] = 0;    // 对该元素做标记，下次遍历时跳过该元素
                    flag -= i;
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        josephus(7,3);
    }
}

4. 结束语

感谢您的阅读，个人认为约瑟夫环问题的一些基本情况已全部罗列出来了，需要注意的是写代码时编号的换算。笔者能力有限，代码也未必是最优的，还请各位多多包涵！

【算法】约瑟夫环问题与Java实现