背景
前几天在b站了看到3b1b的汉明码介绍视频，觉得很有意思，遂写这篇文章记录下学习该概念的笔记。
发明动机
计算机科学或是电信领域，数据传输过程中总是不可避免产生错误，导致终端收到的数据和原来发的数据不一致，因此需要一种纠错机制来判断收到的数据是否正确。
一般人会想到的最简便的方法，便是多复制几段数据：比如一组数据是ABCD，那么就多复制两份一样的数据进行传递，终端读取数据时比较三份数据，按照顺序一个个比特位读过去，相同数最多的比特位可以认为是正确的数据。如下收到三组数据
0101
0101
1101
第0位上，第一、二组数据都是0，第三组为1，可以认为第0位正确的数据是0，其他位的数据三组都一样，所以正确的数据可以认为是0101
但显然这种机制有个缺点：数据冗余，需要原来数据的3倍容量，而且复出这么多容量的代价下，碰到有某两组数组在某位上出现翻转(即1变成0,0变成1)，该方法也无法识别出来。
那有什么方法能够尽量使用少量的空间来纠错呢？
汉明码
奇偶校验
考虑有15个比特的数据要传输，将他们按顺序放到如下1-15的格子里面
|1|0|1|0|
|1|0|1|1|
|1|0|0|0|
|1|1|1|0|
这15个比特值中，如果有奇数个1时，第0位为1，反之为0，即保证要传输的数据中有偶数个1。由于上述数据中有7个1，则第0位填上1。这第0位可以称为奇偶校验位
这样做有什么用呢？
接受数据的一方接受到这16个数据，首先判断下共有几个1，如果有奇数个，即表示传输过程中至少有1位翻转了（当然也有可能是3、5..个)，如果是偶数个，则表示得到的数据是正确的（也可能是有2、4个位翻转了）。
那么这里我们仅仅通过一个比特位，就能“判断”出得到的数据有没有错了。
当然这种方法似乎很“脆弱”，在碰到2个以上的错误时就无法分辨出来了，但它是个很重要的一个基础。
找出错误并纠正
通过上诉描述，我们已经知道了奇偶校验是怎么做了。接下来我们继续使用它，但不对所有数字进行检验，而是将传输的数据分成多组分别进行奇偶校验，如下
1 2 3 4
1 |1|0|1|0|
2 |1|0|1|1|
3 |1|0|0|0|
4 |1|1|1|0|
左侧和上测的数字表示几行，几列。
添加四个检验位，分别在第1、2、4、8位上，即如下打x的位置(2^n的位置)，（这样放是有讲究的，也是该检验方法的巧妙之处，后面的内容会解释）
1 2 3 4
1 |1|x|x|0|
2 |x|0|1|1|
3 |x|0|0|0|
4 |1|1|1|0|
然后我们分别对2、4列，3、4列，2、4行，3、4行做如上的奇偶校验(共四组对应上面打叉的位置)
分析过程
首先对2、4列进行奇偶校验，结果正确表示错误位是在1、3列，反之在2、4列，同理对3、4列检验，如果正确代表错误在1、2列，反之在3、4列，...经过对四组数据进行校验，我们就可以定位到错误的数据了，如下：
graph TD
开始 --> id1{校验2,4列}
id1 --正确,错在1,3列-->id2{检验3,4列}
id1 --错误,错在2,4列-->id3{检验3,4列}
id2 --正确,错在1列-->id4{检验2,4行}
id2 --错误,错在3列-->id5{检验2,4行}
id3 --正确,错在2列-->id6{检验2,4行}
id3 --错误,错在4列-->id7{检验2,4行}
id4 --正确,错在1,3行-->id8{检验3,4行}
id4 --错误,错在2,4行-->id9{检验3,4行}
id5 --正确,错在1,3行-->id10{检验3,4行}
id5 --错误,错在2,4行-->id11{检验3,4行}
id6 --正确,错在1,3行-->id12{检验3,4行}
id6 --错误,错在2,4行-->id13{检验3,4行}
id7 --正确,错在1,3行-->id14{检验3,4行}
id7 --错误,错在2,4行-->id15{检验3,4行}
id8 --正确-->id16[第1行1列错误]
id8 --正确-->id17[第3行1列错误]
id9 --正确-->id18[第2行1列错误]
id9 --正确-->id19[第4行1列错误]
id10 --正确-->id20[第1行3列错误]
id10 --正确-->id21[第3行3列错误]
id11 --正确-->id22[第2行3列错误]
id11 --正确-->id23[第4行3列错误]
id12 --正确-->id24[第1行2列错误]
id12 --正确-->id25[第3行2列错误]
id13 --正确-->id26[第2行2列错误]
id13 --正确-->id27[第4行2列错误]
id14 --正确-->id28[第1行4列错误]
id14 --正确-->id29[第3行4列错误]
id15 --正确-->id30[第2行4列错误]
id15 --正确-->id31[第4行4列错误]
过程就类似二分法的方式，这里检测出错误的位置，只需翻转，就可以认为是正确的数据了
这里有一个问题，四组分析后会有16种错误，但实际上还有一种情况是正确，因此这里做一个处理，第0位（即第一行第一列）不携带数据（四次判断正确即表示数据正确），这样就刚好15+1（正确）种情况。
那么第0位就让他空着吗？那太浪费资源了，这里可以把第0位也作为奇偶校验位，校验所有数据，像上文一样。那么这里设置有什么用呢？
这里分两种情况考虑
- 如果四组检验出来有错误，而第0位的检验有错误，则可以认为就是有一位数据错误了（翻转一下，第0位就正确了）
- 如果四组检验出来有错误，而第0位的检验有正确，则可以认为有两个位置错了，因为两个位置的数据翻转不影响整体的奇偶性（虽然不能纠正两个错误）
代码实现
function checkError(data) {
return data.map((val, idx) => val === 1 ? idx : 0)
.reduce((a, b) => a ^ b)
}
为什么上诉代码就能找出对应错误的位置呢？不是应该进行四次判断一次次筛选吗？这就是为什么要这样分组以及检验码为什么放在2^n位置的原因了
首先我们将每个位对应的序号用二进制表示
|0000|0001|0010|0011|
|0100|0101|0110|0111|
|1000|1001|1010|1011|
|1100|1101|1110|1111|
首先我们观察第2、4列，可以看到其对应二进制数字的第0位都是1，那么将这2、4列中所有位1的数进行异或处理，如果有偶数个，则得出的数的第0位为0即表示错误在第1、3列，有奇数个则得出第0位为1，即表示错误在2、4列（太巧妙了！），其他分组同理（3、4列第一位都是1...），因此我们就可以吧所有为1的数对应的位置进行异或，这样得到的数据极为错误位置。
注意到校验位只有一个位上是0，即只会影响其中一次的检验。
这就是为什么校验位要放在这个位置，以及为什么分组要这样分的缘故
当然汉明码也只能对出现一个错误的情况有用，两个及以上就没办法了。但是校验位对空间的占用很小，只需用几个空间就能纠正出一个错误，也是个不错的选择，特别当，如果用一个16*16的格子，那也仅需要8个检验位。
同样为了避免两次出错，我们会选择合适大小长度的作为块，例如一个16个数字的块出现2个错误的概率肯定是比256个数字的块低。
