从 Number.MAX_VALUE 探秘 JavaScript 世界的神秘数字`1.7976931348623157e

1.7976931348623157e+308，这个神秘数字是 JavaScript 能够表示的最大数字。今天我们从这个神秘数字出发，从 IEEE 754 标准推导这些神秘数字是如何计算的。今天出现的神秘数字有 1.7976931348623157e+308、5e-324、9007199254740991、2.220446049250313e-16 和 0.30000000000000004。

Number.MAX_VALUE

JavaScript 的 Number 对象中存储了很多常量，神秘数字 1.7976931348623157e+308 就在其中，打开浏览器 Console，输入 Number.MAX_VALUE，就会得到这个数字：

iShot2021-09-14 15.23.09.png

1.7976931348623157e+308 也就是 $1.7976931348623157 * 10^{308}$ 。

我们今天就来探究这个数字到底是怎么来的。

JavaScript 使用的是 IEEE 754 标准定义的 64 位浮点数，也叫做双精度浮点数。IEEE 754 的 64 位，由三部分组成，分别是：

符号位（sign bit）：1 bit
指数部分（exponent bias）：11 bit
尾数部分（fraction）： 52 bit

iShot2021-09-14 15.29.58.png

$490px-General_floating_point_frac.svg.png$

我们先看看指数部分，指数一共是 11 位，如果全部为 1，则最大能够表示 $2^{11} - 1 = 2047$ 。所以指数的范围是 [0, 2047]。但是指数部分有负数，所以定义了一个偏移量，在 64 位浮点数中，偏移量为 1023（ $2^e - 1$ ， $e$ 为 $11$ )。减去偏移量之后，指数的范围变成了 [-1023, 1024]。

但是指数全为 1 和全为 0 有特殊作用，所以我们可用的指数少了 -1023（对应指数全 0）和 1024（对应指数全 1），范围变成了 [-1022, 1023]。

指数不全为 1 且指数不全为 0 的浮点数称作规约化浮点数。

我们知道 10 进制的科学计数法中，如 $1.7976931348623157 * 10^{308}$ ，小数点前的数字一定是大于 0 的。对于二进制而言也一样，二进制小数点前数字必须大于 0，而二进制世界只有 0 和 1，所以二进制的科学计数法小数点前的数字一定是1，这样我们就可以节省 1 位，52 位尾数部分可以全部用来表示小数点后面数字。

综上，64 位规约化浮点数的公式是这样的：

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023}

目前已知的条件就可以求出咱们的神秘数字了，想要最大值，指数部分取最大值 1023，尾数全是 1 的话最大，所以我们最大的数字应该是这样的：

iShot2021-09-14 16.23.03.png

我们代入公式，其中 sign 为 0，F 全为 1，E 为 2046：

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023}

iShot2021-09-14 16.32.13.png

我们用 JavaScript 来验证一下这个值：

(2 ** 53 - 1) * (2 ** 971) // 1.7976931348623157e+308
Number.MAX_VALUE === (2 ** 53 - 1) * (2 ** 971) // true

没问题，1.7976931348623157e+308 这个神秘数字我们终于计算了出来。

刚才没有提符号位，符号位非常简单，0 表示正数，1 表示负数。

特殊值 0，Infinity，NaN

刚才提到了，指数部分全为 1 或者全为 0 会有特殊作用，我们先来看看 3 组特殊值。

0：指数位全 0，尾数位也全是0，则表示 ±0

iShot2021-09-14 16.57.12.png

∞：指数全 1，尾数全 0，则表示 ±∞，也就是 Number.POSITIVE_INFINITY 和 Number.NEGATIVE_INFINITY

iShot2021-09-14 16.59.29.png

NaN：指数全1，尾数不全为 0，则表示非数字 NaN

iShot2021-09-14 17.00.16.png

Number.MIN_VALUE 和非规约数

我们来看一个相对正常的数字 5e-324，这是 Number.MIN_VALUE 的值：

iShot2021-09-14 17.03.50.png

按照上文规约化浮点数的公式，

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023}

规约化浮点数，指数部分范围 [-1022, 1023]。最小值 E = 1，指数部分为 -1022，尾数部分全为0最小，此时最小值为：

iShot2021-09-14 18.14.00.png

我们用 JavaScript 来验证一下这个值：

2**(-1022) // 2.2250738585072014e-308
Number.MIN_VALUE < 2**(-1022) // true

显然，规约化浮点数的最小值 2.2250738585072014e-308 远大于 5e-324，从已知的信息，我们是无论如何也推导不出 5e-324 的，因为 IEEE 754 还定义了一种特殊的类型，非规约数（denormalized number），这类数字指数部分全为 0，尾数部分不全为 0。

需要特别注意的是，非规约数中，偏移量比规约数偏移量小 1，64 位非规约浮点数偏移量为 $1023 - 1 = 1022$

公式如下：

-1^{sign} \times (0.F)_{2} \times 2^{E-1022}

由于指数部分全为 0，E 为 0，所以指数部分为 -1022，上述公式简化为：

-1^{sign} \times (0.F)_{2} \times 2^{-1022}

从公式可以看出，我们可以用非规约数表示更接近 0 的数字。那么我们来看看最小值：指数始终为 -1022，若想要最小，则尾数部分末尾只有 1 个 1 是最小的，如下图所示：

iShot2021-09-14 17.27.24.png

我们代入公式

iShot2021-09-14 18.18.22.png

再来用 JavaScript 来验证一下这个值:

2**(-1074) // 5e-324
Number.MIN_VALUE === 2**(-1074) // true

iShot2021-09-14 18.20.27.png

终于，这个看似正常的 5e-324 是通过不那么正常的公式推导出来的。

小结

上文从求 1.7976931348623157e+308 的思路出发，对 Number.MAX_VALUE 和 Number.MIN_VALUE 进行推导，总结如下：

我们可以把 64 位浮点数分为 3 类：

1、特殊值

0：指数位全 0，尾数位也全是 0，则表示 ±0
∞：指数全 1，尾数全 0，则表示 ±∞
NaN：指数全 1，尾数不全为 0，则表示非数字 NaN

2、规约形式的浮点数

指数位不全为 0，且不全为 1，此时偏移量为 1023，指数范围 [-1022, 1023]

-1^{sign} \times (1.F)_{2} \times 2^{E-1023}

3、非规约形式的浮点数

指数位全 0，尾数不全为 0，此时偏移量为 1022，指数部分只为 -1022

-1^{sign} \times (0.F)_{2} \times 2^{-1022}

还有谁

其实还有几个神秘数字，有了上面的公式，我们都能够推导出来，我们一个个看：

最大安全整数 Number.MAX_SAFE_INTEGER

Number.MAX_SAFE_INTEGER 的值是 9007199254740991，我们分析一下，规约化浮点数，尾数部分有 52 位，最大安全整数应该是小数部分全为 1，指数部分为 52：

iShot2021-09-15 09.07.40.png

用 JavaScript 来验证一下

2**53 - 1 // 9007199254740991
Number.MAX_SAFE_INTEGER === 2**53 - 1 // true

没问题，这个神秘数字 9007199254740991 就是 $2^{53} -1$

来看看为什么这个数字是最大安全整数，因为如果比这个数更大，尾数位已经全部是 1 了，只能增大指数，所以比 Number.MAX_SAFE_INTEGER 更大的整数是：

iShot2021-09-15 09.11.22.png

是 Number.MAX_SAFE_INTEGER 的 2 倍，所以最大安全整数只能是 9007199254740991

还有一个数字 Number.MIN_SAFE_INTEGER，值为 -9007199254740991，这个就很简单，符号位变为 1，也就是：

Number.MIN_SAFE_INTEGER === - Number.MAX_SAFE_INTEGER // true

最小精度 Number.EPSILON

我们来看看最后一个神秘数字 Number.EPSILON，2.220446049250313e-16 是如何来的。

Number.EPSILON 属性表示 1 与 Number 可表示的大于 1 的最小的浮点数之间的差值。可表示大于 1 的最小浮点数是这样的：

iShot2021-09-15 09.24.46.png

那么根据定义， Number.EPSILON 就是：

iShot2021-09-15 09.33.17.png

用 JavaScript 来验证一下：

2**-52 // 2.220446049250313e-16
Number.EPSILON === 2**-52 // true

没问题，最后一个神秘数字搞定， 2.220446049250313e-16 就是 $2^{-52}$

回到那道经典题目 “0.1 + 0.2 为什么等于 0.30000000000000004”

十进制小数转二进制

先回顾一下十进制小数转 2 进制方法：“乘2取整，顺序排列”法：

0.1 转换二进制：

iShot2021-09-15 10.55.47.png

0.2 转换二进制：

iShot2021-09-15 10.25.41.png

可以看到，0.1 和 0.2 转为二进制都是无限循环小数，转为 64 位浮点数会有精度损失，我们来转换一下：

0.1 在 64 位浮点数中的存储

iShot2021-09-15 11.01.07.png

使用 (1019).toString(2) 可以算出 1019 的二进制为 1111111011 ：

iShot2021-09-15 11.14.00.png

共 10 位，头部补 0 得到 11 位指数 01111111011：

iShot2021-09-15 11.16.53.png

再来看尾数部分：

iShot2021-09-15 11.17.36.png

1 开始，0111 循环，到了第 52 位为 1，但是需要额外注意，第 53 位仍然是 1，舍去需要进 1，尾数部分变为了（为了方便阅读，使用了 ES2021 的数值分隔符） 1_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_010：

iShot2021-09-15 11.19.41.png

因此，0.1 在 64 位浮点数上存储如下：

iShot2021-09-15 11.21.32.png

0.2 在 64 位浮点数中的存储

iShot2021-09-15 11.35.57.png

使用 (1020).toString(2) 可以算出 1020 的二进制为 1111111100 ：

iShot2021-09-15 11.37.09.png

共 10 位，头部补 0 得到 11 位指数 01111111100：

iShot2021-09-15 11.38.15.png

尾数部分和 0.1 完全一致，也需要进 1，尾数部分为 1_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_010。因此 0.2 在 64 位浮点数上存储如下：

iShot2021-09-15 11.59.38.png

浮点数加法

现在需要这两个数字相加，但是指数不一致，没有办法直接相加，需要转换，这次转换带来了第二次精度损失：

指数不一致，需要将较小的指数调整和较大的指数一致，在本例中，需要将 0.1 指数位调整到 1020，因此尾数位需要右移，注意规约数小数点前的 1 也要右移，变为尾数部分变为 11_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_01：

iShot2021-09-15 13.00.20.png

现在指数部分相同，我们把尾数部分相加：

(0b1_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_010 
+ 0b11_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_0011_01
).toString(2)

得到结果 10110011001100110011001100110011001100110011001100111 ，共 53 位。这块需要特别注意，规约数小数点左侧默认为 1，现在加法之后多出一位，小数点左侧 +1，变为了 $(10)_2$ ，可以理解为 $(10.0110011001100110011001100110011001100110011001100111)_2$ 这个数字。

小数点需要左移动，指数 +1，变为 1021，尾数需要舍去 1 位，由于尾数为 1，需要进 1，代入公式：

1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100 * 2^{1021 - 1023} \\= 10011001100110011001100110011001100110011001100110100* 2^{-2 - 52} \\= 10011001100110011001100110011001100110011001100110100* 2^{-54}

用 JavaScript 验证：

0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * (2**-54) // 0.30000000000000004
0b10011001100110011001100110011001100110011001100110100 * (2**-54) === 0.1 + 0.2 // true

没问题，验证结束。

从 Number.MAX_VALUE 探秘 JavaScript 世界的神秘数字