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马上中秋节就要到了，也不知道我家嫦娥在月亮上过的怎么样，玉兔还陪在她身边吗？

引子

今天我们来探讨一个有趣的问题，如果玉兔遇到莱昂纳多·斐波那契，那明年中秋嫦娥在月亮上会拥有几只玉兔呢？

我们知道意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在《算法全书》中提出了 斐波那契兔子问题(Fibonacci rabbit problem) 一道著名数列难题~

注意，我们的玉兔是神兽，可以直接独立繁衍，而且我们的玉兔永远不会去世~

• 第一个月：一只小玉兔1
• 第二个月：小玉兔1长成大玉兔1
• 第三个月：大玉兔1生了一只小玉兔2
• 第四个月：大玉兔1又生了一直小玉兔3，小玉兔2长成了大玉兔2
• ......

我们画个图看看，玉兔是怎么繁衍的，编号相同的玉兔表示是同一只玉兔~

那我们的问题就是第十二个月的时候，嫦娥拥有多少只玉兔呢？

斐波那契兔子数列问题建模

对上述的斐波那契“玉兔”问题进行建模可以得到斐波那契数列：

$1，1，2，3，5，8，...$

数列从第三项开始，每一项等于前两项之和，我们要求明年中秋嫦娥在月亮上拥有多少玉兔，也就是数列的第$12$项~

我们将数学问题转换成计算机编程问题：

写一个函数，输入 $n$ ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 $n$ 项（即 $F(N)$）。

斐波那契数列的定义如下： $F(0) = 0, F(1) = 1$ $F(N) = F(N - 1) + F(N - 2)$, 其中 $N > 1$.

斐波那契数列由 $0$ 和 $1$ 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

解析

暴力递归

就直接暴力递归，就可以算出我们需要的答案

function fib(n) {
  if( n === 0) return 0
  if(n === 1) return 1
  return fib(n-1) + fib(n-2)
};

let result = fib(12)
console.log(result) // 144

所以，如果玉兔遇到莱昂纳多 · 斐波那契，那明年中秋嫦娥在月亮上会拥有144只玉兔！！！

这种无脑解法可以初步解决问题，如果我们要求十年后的情况呢？

这样暴力起来效率实在太低，我们仔细思考一下，它的可优化空间还是很大！

首先一个问题就是这里重复递归的次数实在是太多了，比如说我要求fib(5)， 如图可视，我们重复求解了多次fib(2)和fib(3)其实这是没有必要的，我们可以用一个缓存cache，来将我们求过了的fib(n)保存在缓存中，下次用到他的时候直接读取他的值就可以了，而不是再重新递归求值，

递归 + 缓存

// 首先定义一个缓存数组，用来存放求出来的Fib(k)的值 k = 2, ... , n
let cache = [];

function fib(n) {
  // 如果缓存中已经有这个值了，就直接返回，不要再递归求值了
  if (cache[n] !== undefined) {
    return cache[n];
  }

  // 两个初始值
  if (n === 0) return 0;
  if (n === 1) return 1;

  // 递归求得fib(n)
  let v = fib(n - 1) + fib(n - 2);

  // 将fib(n)保存在cache[n]的位置
  cache[n] = v;

  // 返回fib(n)
  return v;
}

这样我们就甚至可以计算十年后的情况了

动态规划

我们可以创建一个dp数组，也就是我们的斐波那契数列。

function fib(n) {
  let dp = [];
  // base case
  dp[1] = dp[2] = 1;
  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    // 状态转移方程
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[n];
}

加了缓存的递归以及上面的动态规划数组减少了很多重复计算，提高了效率，但是还是可以继续在空间上进行优化的，我们直接用两个变量接收后面一个计算需要的结果，这样就不需要一个数组了~

function fib(n) {
  if (n < 2) return n;

  let i = 0;
  let j = 1;
  let sum = 1;

  // 每循环一次，将i和j的值相加得到sum放在j后面，将i和j都后移一位
  for (let k = 2; k < n; k++) {
    i = j;
    j = sum;
    sum = i + j;
  }

  return sum;
}

最后

所以说，如果玉兔遇到莱昂纳多 · 斐波那契，那明年中秋嫦娥在月亮上会拥有144只玉兔！！！

如果是十年后，月球上就有大约5.358359254990968e+24只玉兔~

最后的最后，提前祝大家中秋节快乐~~