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自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

昵称：海轰

标签：程序猿｜C++选手｜学生

简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python

学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！

机器学习小白阶段

文章仅作为自己的学习笔记用于知识体系建立以及复习

知其然知其所以然！

1.3 n阶行列式

三阶行列式为： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}$

从中我们可以发现规律： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}$

其中t为排列 $p_1p_2p_3$ 的逆序数

进而推出n阶行列式： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$

特殊情况1： $\begin{vmatrix} \lambda_1 & & & & \\ & \lambda_2 & & & \\ & & . & & \\ & & & . &\\ & & & & \lambda_n \end{vmatrix}=\lambda_1\lambda_2...\lambda_n$

特殊情况2： $\begin{vmatrix} & & & & \lambda_1 \\ &&& \lambda_2 &\\ && . &&\\ & . &&&\\ \lambda_n &&&& \end{vmatrix}= (-1)^\frac{n(n-1)}{2}\lambda_1\lambda_2...\lambda_n （其中(-1)^\frac{n(n-1)}{2}为排列n、 n-1 ... 3、 2、 1的逆序数）$

1.4 对换

1.4.1 排列的对换

概念

对换：在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动。
相邻对换：在排列中，相邻两个元素进行对换

定理1

内容

一个排列中任意两个元素对换，奇偶性发生改变

证明

首先证明相邻对换的情况

设排列 $a_1...a_iabb_1...b_m$

a和b对换，变成 $a_1...a_ibab_1...b_m$

显然， $a_1...a_i$ 、 $b_1...b_m$ 这些元素的逆序数没有发生变化

当a<b时

从ab变为ba，a的逆序数+1（a前面多了一个b），b的逆序数不变

当a>b时，

从ab变为ba，a的逆序数不变，b的逆序数-1（b前面少了一个a）

所以

排列中发生相邻对换，奇偶性会发现变化（奇排列-> 偶排列 or 偶排列->奇排列）

再来证明一般情况

$a_1...a_iab_1...b_mbc_1...c_n$ ,a与b发生对换，变为 $a_1...a_ibb_1...b_mac_1...c_n$

我们可以先用 $b$ 与 $b_m$ 进行相邻对换，变为 $a_1...a_iab_1...bb_mc_1...c_n$

再用 $b$ 与 $b_{m-1}$ 进行相邻对换，变为 $a_1...a_iab_1...bb_{m-1}b_mc_1...c_n$ . . . 最后 $b$ 与 $b_{1}$ 进行相邻对换，变为 $a_1...a_iabb_1...b_mc_1...c_n$

一共经历了m次相邻对换

和 $b_m、b_{m-1}...b_2、b_1$ 对换，一共就是m次

然后，我们再用 $a$ 与 $b$ 进行相邻对换,变为 $a_1...a_ibab_1...b_mc_1...c_n$

再用 $a$ 与 $b_1$ 进行相邻对换,变为 $a_1...a_ibb_1a...b_mc_1...c_n$ . . . 最后 $a$ 与 $b_m$ 进行相邻对换,变为 $a_1...a_ibb_1...b_mac_1...c_n$

一共经历了（m+1）次相邻对换

综上

一共发生了m+（m+1）=2m+1次相邻对换

从最开始的证明可以得出

2m+1次相邻对换后，排列的奇偶性还是会发生改变（交换1次，奇偶性发生转变；交换2次，奇偶性不发生变化-->交换奇数次，奇偶性发生转变；偶数次则不会。2m+1一定是奇数，当m为正整数时）

推论

齐排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

说明

首先，标准排列是逆序数为0的偶排列从定理1可以得知，对换一次，奇偶性发生改变若是齐排列，对换一次，奇->偶，再对换一次，偶->奇... 对换奇数次，最后变为了偶排列；对换偶数次，最后变为奇排列。所以齐排列变成标准排列的对换次数一定为奇数。偶排列变成标准排列的对换次数为偶数同理可证。

1.4.2 行列式的另一种表示方法

n阶行列式有： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}$

我们选择任意一项： $a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}$ ，其中1...i...j...n为自然排列， $(-1)^t$ 中的t为逆序数

然后交换 $a_{ip_i}、a_{jp_j}$ ，得到 $a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}$

我们来计算奇偶性的变化

首先，我们知道只是交换来两个元素的位置，该项的值是不会发生变化的。

行标从 1...i...j...n 变为了 1...j...i...n，可以得出排列1...j...i...n的逆序数为是奇数，设为r

因为1...i...j...n逆序数为0，偶排列根据排列任意元素对换，奇偶性改变， 1...j...i...n就变成了齐排列，那么其逆序数一定就是奇数

同样，设 $p_1...p_j...p_i...pn$ （列标）的逆序数为 $t_1$ ,得到

$a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}$ 前面的正负符号为 $(-1)^{r+t_1}$

因为

$(-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t$

$p_1...p_i...p_j...pn$ 的逆序数为t $a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}$ 前面的系数为 $(-1)^t$ 对换一次变为 $p_1...p_j...p_i...pn$ 奇偶性发生变化其实就是乘以（-1）（排列中，任意两个元素发生对换，奇偶性发生变化，其实就是乘以（-1））所以 $(-1)(-1)^{t_1}=(-1)^t$

又因为r为奇数，有

$（-1）^r=-1$

综合下面两个式子： $\begin{cases} (-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t\\ （-1）^r=-1 \end{cases}$

得到：

$(-1)^{r+t_1}=(-1)^r(-1)^{t_1}=(-1) * (-1)^{t_1}=(-1)*(-(-1)^t)=(-1)^t$

推出：

$(-1)^ta_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}=(-1)^{r+t1}a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}$

说明

对换行列式中某一项两个元素的位置，使得行坐标、列坐标同时发生变化，但是却并不会改变该项的奇偶性。

一次交换不会改变奇偶性，那么多次交换也不会改变奇偶性

$(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$ 经历若干次对换列标排列 $p_1p_2...p_n$ 一定可以变为自然排列（1 2 3... n）

设若干次变换后列标排列变为了自然排列行标排列设为 $q_1q_2...q_n$ ，则有

$(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn}$

对于其中任意一项 $a_{ij}$ ，有 $\begin{cases} a_{ij}=a_{ip_i}\\ a_{ij}=a_{q_jj} \end{cases}$

得到 $\begin{cases} j=p_i\\ i=q_j \end{cases}$

说明由 $p_i$ 可以确定唯一对应的一个 $q_j$ ，比如 $2=p_3$ 说明 $q_2=3$ 且唯一！

那么由 $p_1p_2...p_n$ 可以确定唯一的 $q_1q_2...q_n$

定理2

内容

n阶行列式也可以定义为： $\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}$

证明

首先，n阶行列式有： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n}\\ . & . & & . \\ . & . & & . \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix}=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$

令 $\begin{cases} D=\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\\ D_1=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn} \end{cases}$

从定理1最后的讨论中可以得到：

D中任意一项 $(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}$ 有且只有一项D1中的某一项 $(-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn}$ 与之对应**（q是可以有p确定的）；** 同理，D1中任意一项 $(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}$ 也有且只有D中的某一项 $(-1)^ta_{1q_1}a_{2q_2}...a_{nq_n}$ 与之对应说明，D与D1中的任意一项都可以一一对应

可以得到 $D=D_1$

所以

$\sum(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}=\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}$

结语

说明：

参考于课本《线性代数》第五版同济大学数学系编
配合书中概念讲解结合了自己的一些理解及思考

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

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