Flutter 绘制番外篇 - 数学中的角度知识

前言

对一些有趣的绘制技能和知识， 我会通过 [番外篇] 的形式加入《Flutter 绘制指南 - 妙笔生花》小册中，一方面保证小册的“与时俱进” 和 “活力”。另一方面，是为了让一些重要的知识有个 好的归宿。普通文章就像昙花一现，不管多美丽，终会被时间泯灭。

另外 [番外篇] 的文章是完全公开免费的，也会同时在普通文章中发表，且 [番外篇] 会在普通文章发布三日后入驻小册，这样便于错误的暴露和收集建议反馈。本文作为 [番外篇] 之一，主要来探讨一下角度和坐标 的知识。

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一、两点间的角度

你有没有想过，两点之间的角度如何计算。比如下面的 p0 和 p1 点间的角度，也就是两点之间的斜率。这上过初中的人都知道，使用 反三角函数 算一下就行了。那其中有哪些坑点要注意呢，下面一方面学知识，一方面练画技，一起画画吧！

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1. 把线信息画出来

首先来画出如下效果，点 p0(0,0) ；点 p1(60,60)。

为了方便数据管理，将起止点封装在 Line 类中。其中黑色部分的线体 由 Line 类承担，这样在就能减少画板的绘制逻辑。

class Line {
  Line({
    this.start = Offset.zero,
    this.end = Offset.zero,
  });

  Offset start;
  Offset end;

  final Paint pointPaint = Paint()
    ..style = PaintingStyle.stroke
    ..strokeWidth = 1;

  void paint(Canvas canvas){
    canvas.drawLine(Offset.zero, end, pointPaint);
    drawAnchor(canvas,start);
    drawAnchor(canvas,end);
  }

  void drawAnchor(Canvas canvas, Offset offset) {
    canvas.drawCircle(offset, 4, pointPaint..style = PaintingStyle.stroke);
    canvas.drawCircle(offset, 2, pointPaint..style = PaintingStyle.fill);
  }
}

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画板是 AnglePainter ，其中虚线通过我的 dash_painter 库进行绘制，定义 line 对象之后，在 paint 方法中通过 line.paint(canvas); 即可绘制黑色的线体部分，蓝色的辅助信息通过 drawHelp 进行绘制。这样通过改变 line 对象的点位就可以改变线体绘制，如下是 p1 点变化对应的绘制表现：

p1(60，60)	p1(60，-80)	p1(-60,-80)	p1(-60,80)

class AnglePainter extends CustomPainter {
  // 绘制虚线
  final DashPainter dashPainter = const DashPainter(span: 4, step: 4);

  final Paint helpPaint = Paint()
    ..style = PaintingStyle.stroke..color = Colors.lightBlue..strokeWidth = 1;

  final TextPainter textPainter = TextPainter(
    textAlign: TextAlign.center,
    textDirection: TextDirection.ltr,
  );

  Line line = Line(start: Offset.zero, end: const Offset(60, 60));

  @override
  void paint(Canvas canvas, Size size) {
    canvas.translate(size.width / 2, size.height / 2);
    drawHelp(canvas, size);
    line.paint(canvas);
  }

  void drawHelp(Canvas canvas, Size size) {
    Path helpPath = Path()
      ..moveTo(-size.width / 2, 0)
      ..relativeLineTo(size.width, 0);
    dashPainter.paint(canvas, helpPath, helpPaint);
    drawHelpText('0°', canvas, Offset(size.width / 2 - 20, 0));
    drawHelpText('p0', canvas, line.start.translate(-20, 0));
    drawHelpText('p1', canvas, line.end.translate(-20, 0));
  }

  void drawHelpText(  String text, Canvas canvas, Offset offset, {
    Color color = Colors.lightBlue 
  }) {
    textPainter.text = TextSpan(
      text: text,
      style: TextStyle(fontSize: 12, color: color),
    );
    textPainter.layout(maxWidth: 200);
    textPainter.paint(canvas, offset);
  }

  @override
  bool shouldRepaint(covariant CustomPainter oldDelegate) {
    return false;
  }
}

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2.角度计算

Flutter 中的 Offset 对象有 direction 属性，它是通过 atan2 反正切函数进行计算的。下面来看一下通过 direction 属性获取的角度特点。

class Line {
  // 略同...
  
  double get rad => (end-start).direction;
}

---->[源码: Offset#direction]----
double get direction => math.atan2(dy, dx);

下面将计算出的弧度，转化为角度值，标注在左上角。源码中对 direction 属性的介绍是： 在 x 轴右向为正，y 轴向下为正的坐标系下，该偏移角度以是从 x 正轴顺时针方向偏移弧度，范围在 [-pi,pi] 之间。也就是说，x 轴的上部分的角度是负值 ，如下面的 3、4 图所示。

p1(60，60)	p1(-60,80)	p1(-60,-60)	p1(60，-80)

drawHelpText(
  '角度: ${(line.rad * 180 / pi).toStringAsFixed(2)}°',
  canvas,
  Offset(
    -size.width / 2 + 10,
    -size.height / 2 + 10,
  ),
);

---

这里角度在 [-pi,pi] 之间，那我们能不能让它在 [0,2*pi] 之间呢？这样比较符合 0~360° 的常归认识。其实很简单，如果为负，加个 2*pi 就行了，如下 positiveRad 的处理。

---->[Line]----
double get rad => (end - start).direction;
 
double get positiveRad => rad < 0 ? 2 * pi + rad : rad;

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3.角度的使用

现在来做一个小案例，如下：通过两点间的角度来决定矩形旋转的角度，使用动画将 p1 点绕 p0 做圆周运动。由于两点的角度变化，矩形也会伴随旋转。

为了让 Line 的变化方便通知画板进行更新，这里让它继承自 ChangeNotifier ，成为可监听对象。并给出一个 rotate 方法，传入角度来更新坐标。这里为了方便，先以 0,0 为起点，只变更 end 坐标，已知 p1 做圆周运动，所以两点间距离不变，又知道了旋转角度，那 p1 在旋转 rad 时，p1 的坐标就很容易得出：

class Line with ChangeNotifier {
  // 略同...
  
  double get length => (end - start).distance;
  
  void rotate(double rad) {
    end = Offset(length * cos(rad), length * sin(rad));
    notifyListeners();
  }
}

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上面实现了椭圆的角度伴随运动，那想一下，如何动态绘制如下的线与水平正方向的圆弧呢？

其实很简单，我们已经知道了角度值，通过 canvas.drawArc 就可以根据先的角度绘制圆弧。

---->[AnglePainter#drawHelp]----
canvas.drawArc(
  Rect.fromCenter(center: Offset.zero, width: 20, height: 20),
  0,
  line.positiveRad,
  false,
  helpPaint,
);

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4. 点任意的绕点旋转

其实刚才的圆周运动是一个及其特殊的情况，也就是线的起点在原点，且初始夹角为 0。这样在坐标计算时，不必考虑初始角度的影响。但对于一般场合，上面的运算方式会出现错误。那如何实现 p0 点的任意呢？其实这就是移到简单的初中数学题：

已知: p0(a,b)、p1(c,d)，求 p1 绕 p0 顺时针旋转 θ 弧度后得到 p1' 点。
求: p1' 点的坐标。

 其实算起来很简单，如下，旋转了 θ 弧度后得到 p1' 。以 p0 为参考系原点的话，p1' 的坐标呼之欲出。

令两点间角度为 rad, 两点间距离为 length, 则: 
p1': (length*cos(rad+θ),length*sin(rad+θ))

已知 p0 坐标为 start，则以 (0,0) 为坐标系，则
p1': (length*cos(rad+θ),length*sin(rad+θ)) + start

由于 rotate 参数是总的旋转角度，而rotate 方法每次触发都会更新 end 的坐标，所以 rad 会不断更新，我们需要处理的是每次动画触发间的旋转角度，即下面的 detaRotate 。本案例完整源码见: rad_rotate

double detaRotate = 0;
void rotate(double rotate) {
  detaRotate = rotate - detaRotate;
  end = Offset(
        length * cos(rad + detaRotate),
        length * sin(rad + detaRotate),
      ) +
      start;
  detaRotate = rotate;
  notifyListeners();
}

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二、你的点又何须是点

也许上面在你眼中，这些只是点的运算而已，但在我眼中，它们是一种约束绑定关系，因为运算本身就是约束法则。两个点数据构成一种结构，一种骨架，那你所见的点，又何须是点呢？

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1. 绘制箭头

如下，是绘制箭头的案例：界面上所展现的，是Line#paint 方法绘制的内容，只要通过两个点所提供的信息，绘制出箭头即可。绘制逻辑是：先画一个水平箭头，再根据旋转角度，绕 p0 旋转。

void paint(Canvas canvas) {
  canvas.save();
  canvas.translate(start.dx, start.dy);
  canvas.rotate(positiveRad);
  Path arrowPath = Path();
  arrowPath
    ..relativeLineTo(length - 10, 3)
    ..relativeLineTo(0, 2)
    ..lineTo(length, 0)
    ..relativeLineTo(-10, -5)
    ..relativeLineTo(0, 2)..close();
  canvas.drawPath(arrowPath,pointPaint);
  canvas.restore();
}

这样，点位数据的变化，同样可以驱动绘制的变化。本案例完整源码见: arrow

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2. 绘制图片

如下是一张图片，现在通过 PS 获取胳膊的区域数据：0, 93, 104, 212 。左上角和左下角两点构成直线，如果我们根据点的位置信息，来绘制图片会怎么样呢？

为了储存图片和区域信息，下面定义 ImageZone 对象，在构造中传入图片 image 和区域 rect 。另外通过 image 和 rect ，我们可以算出以图片中心为原点，左上角和左下角对应坐标构成的线对象。

import 'dart:ui';
import 'line.dart';

class ImageZone {
  final Image image;
  final Rect rect;

  Line? _line;

  ImageZone({required this.image, this.rect = Rect.zero});

  Line get line {
    if (_line != null) {
      return _line!;
    }
    Offset start = Offset(
        -(image.width / 2 - rect.right), -(image.height / 2 - rect.bottom));
    Offset end = start.translate(-rect.width, -rect.height);
    _line = Line(start: start, end: end);
    return _line!;
  }
}

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在 ImageZone 中定义一个 paint 方法，通过 canvas 和 line 进行图片的绘制。这样方便在 Line 类中进行图片绘制，简化 Line 的绘制逻辑。

---->[ImageZone]----
void paint(Canvas canvas, Line line) {
    canvas.save();
    canvas.translate(line.start.dx, line.start.dy);
    canvas.rotate(line.positiveRad - this.line.positiveRad);
    canvas.translate(-line.start.dx, -line.start.dy);
    canvas.drawImageRect(
      image,
      rect,
      rect.translate(-image.width / 2, -image.height / 2),
      imagePaint,
    );
    canvas.restore();
 }

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在 Line 类中，添加一个 attachImage 方法，将 ImageZone 对象关联到 Line对象上。在 paint中只需要通过 _zone 对象进行绘制即可。

---->[Line]----
class Line with ChangeNotifier {
  // 略同...
  
  ImageZone? _zone;

  void attachImage(ImageZone zone) {
    _zone = zone;
    start = zone.line.start;
    end = zone.line.end;
    notifyListeners();
  }
  
  void paint(Canvas canvas) {
  // 绘制箭头略....
  _zone?.paint(canvas, this);
 }

这样我们就可以将图片的某个矩形区域 附魔 到一个线段上。手的图片通过 _loadImage 来加载，并通过 attachImage 方法为 line 对象 附魔 。

void _loadImage() async {
  ByteData data = await rootBundle.load('assets/images/hand.png');
  List<int> bytes = data.buffer.asUint8List(data.offsetInBytes, data.lengthInBytes);
  _image = await decodeImageFromList(Uint8List.fromList(bytes));
  line.attachImage(ImageZone(
      rect: const Rect.fromLTRB(0, 93, 104, 212),
      image: _image!,
  ));
}

同样，可以让线段绕起点进行旋转，如下的挥手动作。

void _updateLine() {
  line.rotate(ctrl.value * 2* pi/50);
}

将背景图片进行绘制，就可以得到一个完整的效果。本案例完整源码见: body

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三、线绕任意点旋转

下面我们来如何让已知线段按照某个点，进行旋转，这个问题等价于：

已知，p0、p1、p2点坐标，线段 p0、p1 绕 p2 顺时针旋转 θ 弧度后的到 p0'、p1'。
求：p0'、p1' 坐标。

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1.问题分析

由于两点确定一条直线，线段 p0、p1 绕 p2旋转，等价于 p0 和 p1 分别绕 p2 旋转。示意图如下：

对应于代码，就是在 rotate 方法中，传入一个坐标 centre ，根据该坐标和旋转角度，对 p0 和 p1 点进行处理，得到新的点。

void rotate(double rotate,{Offset? centre}) {
		//TODO
}

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2.解决方案和代码处理

之前已经处理了绕起点旋转的逻辑，这里我们可以用一个非常巧妙的方案：

求 p0’ 的坐标，可以构建 p2,p0 线段，让该线段执行旋转逻辑，其 end 坐标即是 p0’。
求 p1’ 的坐标，可以构建 p2,p1 线段，让该线段执行旋转逻辑，其 end 坐标即是 p1’。

思路有了，下面来看一下代码的实现。前面实现的 绕起点旋转 封装到 _rotateByStart 方法中。

---->[Line]----
void _rotateByStart(double rotate) {
  end = Offset(
        length * cos(rad + rotate),
        length * sin(rad + rotate),
      ) +
      start;
}

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外界可调用的的 rotate 方法，可以传入 centre 点，如果为空就以起点为旋转中心。下面 tag1 和 tag2 出分别构建 p2p0 和 p2p1 线段。之后两条线旋转即可获得我们期望的 p0’ 和 p1’ 坐标。

double detaRotate = 0;

void rotate(double rotate, {Offset? centre}) {
  detaRotate = rotate - detaRotate;
  centre = centre ?? start;
  Line p2p0 = Line(start: centre, end: start); // tag1
  Line p2p1 = Line(start: centre, end: end); // tag2
  p2p0._rotateByStart(detaRotate);
  p2p1._rotateByStart(detaRotate);
  start = p2p0.end;
  end = p2p1.end;
  detaRotate = rotate;
  notifyListeners();
}

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3.线段分度值出坐标

现在有个需求，计算线段 percent 分率处点的坐标。比如 0.5 就线段中间的坐标，0.4 就是距离顶点长 40% 线长位置的坐标。效果如下：

0.2	0.5	0.8

其实思路很简单，既然点在线上，那么斜率是不变的，只是长度发生变化，根据斜率和长度即可求出坐标值，代码实现如下：

Offset percent(double percent){
  return Offset(
      length*percent*cos(rad),
      length*percent*sin(rad),
  )+start;
}

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前面说过了线的，绕点旋转。现在已知分度值处的坐标，就可以很轻松地实现 线绕分度锚点旋转。本案例完整源码见: rotate_by_point

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本文中的点线操作，都是对坐标本身的数据进行修改系。比如在旋转时，线对应的角度值是真实的。这种基于逻辑运算的数据驱动方式，可以进行一些很有意思的操作，更容易让数据间进行 联动 。另外，本文仅仅是两个点组成线 的简单研究。多个线的组合、约束也许会打开一个新世界的大门。相关以后有机会再深入研究一下，分享给大家。

那这里本文想介绍的内容就差不多了，谢谢观看，拜拜~

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