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【背包问题の第四讲】从数学角度推导「完全背包」与「01 背包」之间的遍历顺序关系

前言

今天是我们讲解动态规划专题中的「背包问题」的第四天。

在众多背包问题中「01 背包问题」是最为核心的,因此我建议你先精读过 背包问题 第一讲 之后再阅读本文。

其中 01 背包的「一维空间优化」更是要重点掌握。

另外,我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解(每隔几天更新一篇,确保大家消化)。

你也先可以尝试做做,也欢迎你向我留言补充,你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

NN 种物品和一个容量为 CC 的背包,每种物品都有无限件。

ii 件物品的体积是 v[i]v[i],价值是 w[i]w[i]

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

其实就是在 0-1 背包问题的基础上,增加了每件物品可以选择多次的特点(在容量允许的情况下)。

示例 1:

输入: N = 2, C = 5, v = [1,2], w = [1,2]
输出: 5
解释: 选一件物品 1,再选两件物品 2,可使价值最大。
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常规解法

我们可以直接将 01 背包的「状态定义」拿过来用:

dp[i][j]dp[i][j] 代表考虑前 ii 件物品,放入一个容量为 jj 的背包可以获得的最大价值。

由于每件物品可以被选择多次,因此对于某个 dp[i][j]dp[i][j] 而言,其值应该为以下所有可能方案中的最大值:

  • 选择 0 件物品 ii 的最大价值,即 dp[i1][j]dp[i-1][j]

  • 选择 1 件物品 ii 的最大价值,即 dp[i1][jv[i]]+w[i]dp[i-1][j-v[i]]+w[i]

  • 选择 2 件物品 ii 的最大价值,即 dp[i1][j2v[i]]+2w[i]dp[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i]

    ...

  • 选择 k 件物品 ii 的最大价值,dp[i1][jkv[i]]+kw[i]dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]

由此我们可以得出「状态转移方程」为:

dp[i][j]=max(dp[i1][j],dp[i1][jkv[i]]+kw[i]),0<kv[i]jdp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]), 0 < k*v[i] \leqslant j

代码:

class Solution {
    public int maxValue(int N, int C, int[] v, int[] w) {
        int[][] dp = new int[N][C + 1];
        
        // 先预处理第一件物品
        for (int j = 0; j <= C; j++) {
            // 显然当只有一件物品的时候,在容量允许的情况下,能选多少件就选多少件
            int maxK = j / v[0];
            dp[0][j] = maxK * w[0];
        }
        
        // 处理剩余物品
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= C; j++) {
                // 不考虑第 i 件物品的情况(选择 0 件物品 i)
                int n = dp[i - 1][j];
                // 考虑第 i 件物品的情况
                int y = 0;
                for (int k = 1 ;; k++) {
                    if (j < v[i] * k) {
                        break;
                    }
                    y = Math.max(y, dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                }
                dp[i][j] = Math.max(n, y);
            }
        }
        return dp[N - 1][C];
    }
}
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  • 时间复杂度:共有 NCN * C 个状态需要被转移,但每次转移都需要枚举当前物品的件数,最多枚举 C 次(重量为最小值 1),因此整体复杂度为 O(NCC)O(N * C * C)
  • 空间复杂度:O(NC)O(N * C)

滚动数组

通过观察我们的「状态转移方程」可以发现,我们在更新某个 dp[i][x]dp[i][x] 的时候只依赖于 dp[i1][x]dp[i-1][x]

因此我们可以像 01 背包那样使用「滚动数组」的方式将空间优化到 O(C)O(C)

代码:

class Solution {
    public int maxValue(int N, int C, int[] v, int[] w) {
        int[][] dp = new int[2][C + 1];
        
        // 先预处理第一件物品
        for (int j = 0; j <= C; j++) {
            // 显然当我们只有一件物品的时候,在容量允许的情况下,能选多少件就选多少件
            int maxK = j / v[0];
            dp[0][j] = maxK * w[0];
        }
        
        // 处理剩余物品
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= C; j++) {
                // 不考虑第 i 件物品的情况(选择 0 件物品 i)
                int n = dp[(i - 1)&1][j];
                // 考虑第 i 件物品的情况
                int y = 0;
                for (int k = 1 ;; k++) {
                    if (j < v[i] * k) {
                        break;
                    }
                    y = Math.max(y, dp[(i - 1)&1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                }
                dp[i&1][j] = Math.max(n, y);
            }
        }
        return dp[(N - 1)&1][C];
    }
}
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  • 时间复杂度:共有 NCN * C 个状态需要被转移,但每次转移都需要枚举当前物品的件数,最多枚举 C 次(重量为最小值 1),因此整体复杂度为 O(NCC)O(N * C * C)
  • 空间复杂度:O(NC)O(N * C)

一维空间优化

我们知道在 01 背包中,最重要的是「一维空间优化」解法。

之所以 01 背包能够使用「一维空间优化」解法,是因为当我们开始处理第 ii 件物品的时候,数组中存储的是已经处理完的第 i1i - 1 件物品的状态值。

然后配合着我们容量维度「从大到小」的遍历顺序,可以确保我们在更新某个状态时,所需要用到的状态值不会被覆盖。

因此 01 背包问题的状态转移方程为:

dp[j]=max(dp[j],dp[jv[i]]+w[i])dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i])

同时容量维度的遍历顺序为从大到小。

PS. 如果你不太理解上面的话,或许是因为你「还没学习」或者「有点忘记」01 背包问题,三叶强烈建议你先对 01 背包问题 进行学习/回顾。

而「完全背包」区别于「01 背包」,在于每件物品可以被选择多次。

因此你可能会在别的地方看到这样的讲解:

「01 背包将容量维度「从大到小」遍历代表每件物品只能选择一件,而完全背包将容量维度「从小到大」遍历代表每件物品可以选择多次。」

这样的解释其实是利用了人的抽象思维,但感觉不一定是对的。

接下来,我们从「数学」的角度去证明为什么修改 01 背包的遍历顺序可以正确求解完全背包问题。

我们先来展开完全背包中 dp[i][j]dp[i][j] 的所有可能方案:

dp[i][j]=max(dp[i1][j],dp[i1][jv[i]]+w[i],dp[i1][j2v[i]]+2w[i],...,dp[i1][jkv[i]]+kw[i]),0kv[i]jdp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i], dp[i - 1][j - 2 * v[i]] + 2 * w[i],...,dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]), 0\leqslant k*v[i] \leqslant j

dp[i][j]dp[i][j] 所代表的含义:在容量允许的情况下,对于第 ii 件物品,我们可以不选,可以选 1 次,可以选 2 次,...,可以选 kk 次 ...

然后我们通过代入,看看 dp[i][jv[i]]dp[i][j - v[i]] 是什么内容:

dp[i][jv[i]]=max(dp[i1][jv[i]],dp[i1][j2v[i]]+w[i],dp[i1][j3v[i]]+2w[i],...,dp[i1][jkv[i]]+(k1)w[i]),0kv[i]jdp[i][j - v[i]] = max(dp[i - 1][j - v[i]], dp[i - 1][j - 2 * v[i]] + w[i], dp[i - 1][j - 3 * v[i]] + 2 * w[i],...,dp[i - 1][j - k * v[i]] + (k - 1) * w[i]), 0\leqslant k*v[i] \leqslant j

光看公式可能很难看出两者的联系,三叶将相同的部分进行标记:

总结一下。

  • 0-1 背包问题的状态转换方程是:
dp[i][j]=max(dp[i1][j],dp[i1][jv[i]]+w[i])dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])

由于计算 dp[i][j]dp[i][j] 的时候,依赖于 dp[i1][jv[i]]dp[i - 1][j - v[i]]

因此我们在改为「一维空间优化」时,需要确保 dp[jv[i]]dp[j - v[i]] 存储的是上一行的值,即确保 dp[jv[i]]dp[j - v[i]] 还没有被更新,所以遍历方向是从大到小。

  • 完全背包问题的状态转移方程是:
dp[i][j]=max(dp[i1][j],dp[i][jv[i]]+w[i])dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v[i]] + w[i])

由于计算 dp[i][j]dp[i][j] 的时候,依赖于 dp[i][jv[i]]dp[i][j - v[i]]

因此我们在改为「一维空间优化」时,需要确保 dp[jv[i]]dp[j - v[i]] 存储的是当前行的值,即确保 dp[jv[i]]dp[j - v[i]] 已经被更新,所以遍历方向是从小到大。

代码:

class Solution {
    public int maxValue(int N, int C, int[] v, int[] w) {
        int[] dp = new int[C + 1];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= C; j++) {
                // 不考虑第 i 件物品的情况(选择 0 件物品 i)
                int n = dp[j];
                // 考虑第 i 件物品的情况
                int y = j - v[i] >= 0 ? dp[j - v[i]] + w[i] : 0; 
                dp[j] = Math.max(n, y);
            }
        }
        return dp[C];
    }
}
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  • 时间复杂度:共有 NCN * C 个状态需要被转移,复杂度为 O(NC)O(N * C)
  • 空间复杂度:O(C)O(C)

总结

今天我们学习了【动态规划/背包问题】中的「完全背包」问题。

形式上,我们只需要将 01 背包问题的「一维空间优化」解法中的「容量维度」遍历方向从「从大到小 改为 从小到大」就可以解决完全背包问题。

但本质是因为两者进行状态转移时依赖了不同的格子:

  • 01 背包依赖的是「上一行正上方的格子」和「上一行左边的格子」。

  • 完全背包依赖的是「上一行正上方的格子」和「本行左边的格子」。

另外,我们可以发现通过「一维空间优化」方式,可以将求解「完全背包」问题的时间复杂度从 O(NCC)O(N * C * C) 降低为 O(NC)O(N*C)

这就是为什么三叶一直强调 01 背包问题的「一维空间优化」解法是几乎所有背包问题的基础。

背包问题(目录)

  1. 01背包 : 背包问题 第一讲

    1. 【练习】01背包 : 背包问题 第二讲

    2. 【学习&练习】01背包 : 背包问题 第三讲

  2. 完全背包 : 本篇

    1. 【练习】完全背包 : 背包问题 第五讲

    2. 【练习】完全背包 : 背包问题 第六讲

    3. 【练习】完全背包 : 背包问题 第七讲

  3. 多重背包 : 背包问题 第八讲

  4. 多重背包(优化篇)

    1. 【上】多重背包(优化篇): 背包问题 第九讲

    2. 【下】多重背包(优化篇): 背包问题 第十讲

  5. 混合背包 : 背包问题 第十一讲

  6. 分组背包 : 背包问题 第十二讲

    1. 【练习】分组背包 : 背包问题 第十三讲
  7. 多维背包

    1. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十四讲

    2. 【练习】多维背包 : 背包问题 第十五讲

  8. 树形背包 : 背包问题 第十六讲

    1. 【练习篇】树形背包 : 背包问题 第十七讲

    2. 【练习篇】树形背包

  9. 背包求方案数

    1. 【练习】背包求方案数
  10. 背包求具体方案

    1. 【练习】背包求具体方案
  11. 泛化背包

    1. 【练习】泛化背包
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