题解 | 「力扣」第 34 题：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置（中等）写对二分查找不应该靠记忆，而是需要深刻

摘要：写对二分查找不应该靠记忆，而是需要深刻理解二分查找的基本思想，然后仔细分析题意，认真分类讨论，才不会出错。

思路分析：

不可以找到 target 以后，然后向两边扩散（线性查找），这样的话时间复杂度为 $O(N)$ ，这里 $N$ 是输入数组的长度；
应该使用两次二分查找，先找 target 第一次出现的位置，再找 target 最后一次出现的位置，注意分类讨论，并且把分类讨论的结果合并。

参考代码：

public class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return new int[]{-1, -1};
        }

        int firstPosition = findFirstPosition(nums, target);
        if (firstPosition == -1) {
            return new int[]{-1, -1};
        }

        int lastPosition = findLastPosition(nums, target);
        return new int[]{firstPosition, lastPosition};
    }

    private int findFirstPosition(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 小于一定不是解
            if (nums[mid] < target) {
                // 下一轮搜索区间是 [mid + 1..right]
                left = mid + 1;
            } else {
                // nums[mid] > target，下一轮搜索区间是 [left..mid]
                right = mid;
            }
        }

        if (nums[left] == target) {
            return left;
        }
        return -1;
    }

    private int findLastPosition(int[] nums, int target) {
        int left = 0;
        int right = nums.length - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if (nums[mid] > target) {
                // 下一轮搜索区间是 [left..mid - 1]
                right = mid - 1;
            } else 
                // 下一轮搜索区间是 [mid..right]
                left = mid;
            } 
        }
        return left;
    }
}

参考代码的补充说明：

findFirstPosition()，分成三种情况：下面的描述可能有一点啰嗦，但是很多时候问题并不难，我们需要仔细一点就不难做对。

情况 ① ：当 nums[mid] < target 时

mid 一定不是 target 第一次出现的位置；
由于数组有序，mid 的左边一定比 nums[mid] 还小，因此 mid 的左边一定不是 target 第一次出现的位置；
mid 的右边比 nums[mid] 还大，因此 mid 的右边有可能存在 target 第一次出现的位置。

因此下一轮搜索区间是 [mid + 1..right]，此时设置 left = mid + 1；

情况 ② ：当 nums[mid] == target 时

mid 有可能是 target 第一次出现的位置；
mid 的左边也有可能是 target 第一次出现的位置；
mid 的右边一定不是 target 第一次出现的位置。

因此下一轮搜索区间在 [left..mid]，此时设置 right = mid。

情况 ③ ：当 nums[mid] > target 时

mid 一定不是 target 第一次出现的位置；
mid 的右边也一定不是 target 第一次出现的位置；
mid 的左边有可能是 target 第一次出现的位置，因此下一轮搜索区间在 [left..mid - 1]，此时设置 right = mid - 1。

重点在这里：把情况 ② 和情况 ③ 合并，即当 nums[mid] >= target 的时候，下一轮搜索区间是 [left..mid]，此时设置 right = mid - 1。这样做是因为：只有当区间分割是 [left..mid] 和 [mid + 1..right] 的时候，while(left < right) 退出循环以后才有 left == right 成立。

findLastPosition() 也可以类似分析，这里省略。

在本题解中，while(left < right) 只表示退出循环以后有 left == right 成立，不表示搜索区间为左闭右开区间，本题解以及我的其它题解中，对循环不变量的定义均为：在 nums[left..right] 中查找目标元素。

复杂度分析：

时间复杂度： $O(\log N)$ ，这里 $N$ 是数组的长度，两个子问题都是二分查找，因此时间复杂度为对数级别；
空间复杂度： $O(1)$ ，只使用了常数个数的辅助变量。

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