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数据结构与算法十一: 4.2 求最小生成树--克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

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数据结构与算法(一):时间复杂度和空间复杂度

数据结构与算法(二):桟

数据结构与算法(三):队列

数据结构与算法(四):单链表

数据结构与算法(五):双向链表

数据结构与算法(六):哈希表

数据结构与算法(七):树和二叉树

数据结构与算法(八):排序算法

数据结构与算法(九):经典算法面试题

数据结构与算法(十):递归

数据结构与算法(十一):图

1. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的本质是求最小生成树,可以解决类似于修路问题和公交站问题等问题。克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法。原理是在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边,构成一棵极小连通子图,并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到 最小,则称其为连通网的最小生成树。假设有 n 个顶点,先把所有边按照权值从小到大排列,在里边按顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路。

 克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:

  • 问题一 :对图的所有边按照权值大小进行排序。处理方式是采用排序算法进行排序。 
  • 问题二 :将边添加到最小生成树中时,怎么样判断是否形成了回路。判断形成回路的原理是并查集思想,处理方式是:记录每个顶点在"最小生成树"中的终点,顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,重合的话则会构成回路。

终点的解释: 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后; 某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。我们加入的边的两个顶点不能都指向同一 个终点,否则将构成回路。

2. 应用场景--公交站问题

  •  1) 有北京有新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G),现在需要修路把7个站点连通
  •  2) 各个站点的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 12 公里
  •  3) 问:如何修路保证各个站点都能连通,并且总的修建公路总里程最短?

公交站问题图示.png

3. 解题过程

  •  第 1 步:将边<E,F>加入 R 中。 边<E,F>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
  •  第 2 步:将边<C,D>加入 R 中。 上一步操作之后,边<C,D>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
  •  第 3 步:将边<D,E>加入 R 中。 上一步操作之后,边<D,E>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
  •  第 4 步:将边<B,F>加入 R 中。 上一步操作之后,边<C,E>的权值最小,但<C,E>会和已有的边构成回路;因此,跳过边<C,E>。同理,跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。
  • 第 5 步:将边<E,G>加入 R 中。上一步操作之后,边<E,G>的权值最小,因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
  • 第 6 步:将边<A,B>加入 R 中。上一步操作之后,边<F,G>的权值最小,但<F,G>会和已有的边构成回路;因此,跳过边<F,G>。同理,跳 过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。
  • 此时,最小生成树构造完成!它包括的边依次是:<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

生成最小生成树的过程如下图所示 生成最小生成树的过程.png

4. 代码实现

-(void)kruskalCase{

    //1. vertexs:存放图中的所有点
    NSArray*vertexs = @[@"A",@"B",@"C",@"D",@"E",@"F",@"G"];

    //2. matrix:用邻接矩阵存放图的权值
    //使用 N 表示两个顶点不能连通
    #define N  10000

    NSMutableArray<NSMutableArray<NSNumber*>*>*matrix = [

            /*A*/ /*B*/ /*C*/ /*D*//*E*//*F*//*G*/

    /*A*/  @[@[@(0),@(12),@(N),@(N),@(N),@(16),@(14)],

    /*B*/  @[@(12),@(0),@(10),@(N),@(N),@(7),@(N)],

    /*C*/  @[@(N),@(10),@(0),@(3),@(5),@(6),@(N)],

    /*D*/  @[@(N),@(N),@(3),@(0),@(4),@(N),@(N)],

    /*E*/  @[@(N),@(N),@(5),@(4),@(0),@(2),@(8)],

    /*F*/  @[@(16),@(7),@(6),@(N),@(2),@(0),@(9)],

    /*G*/  @[@(14),@(N),@(N),@(N),@(8),@(8),@(0)]]

        mutableCopy];

    printf("打印这个邻接矩阵 \n");

    for(int i = 0; i < matrix.count; i++) {
      for(int j = 0; j < matrix.count; j++) {
        printf("%5d ",[matrix[i][j] intValue]);
      }
      printf("\n");
    }
    printf("\n");

    [self kruskalWithVertexs:vertexs matrix:matrix];
}

复制代码
-(void)kruskalWithVertexs:(NSArray*)vertexs matrix:(NSMutableArray<NSMutableArray<NSNumber*>*>*)matrix{

    //1.vlen: 顶点的总数
    NSInteger vlen = vertexs.count;
    
    //2.results:结果数组, 保存最后的最小生成树
    NSMutableArray<EdgeData*>* results = [[NSMutableArray alloc]initWithCapacity:vlen];

    //3.ends用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点,ends中存放的是终点的下标
    //ends初始化为 0
    
    NSMutableArray*ends = [NSMutableArray array];
    for (int i = 0; i < vertexs.count; i++) {
        ends[i] = @(0);
    }

    //4. 统计图的所有的边edges
    NSMutableArray<EdgeData*>*edges = [NSMutableArray array];
    for(int i = 0; i < vlen; i++) {
      for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
          if([matrix[i][j] intValue] != NONE ) {
              EdgeData*edge = [[EdgeData alloc]initWithStart:vertexs[i] end:vertexs[j] weight:[matrix[i][j] intValue]];
              [edges addObject:edge];
          }
      }
    }

    printf("打印排序前的所有边-->%s \n", edges.description.UTF8String);

    //5. 根据边的权值,把所有的边排序(这里用冒泡排序)
    for (int i = 0; i<edges.count-1; i++) {
        for (int j = 0; j<edges.count-1-i; j++) {
            if (edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
                EdgeData*tmp = edges[j];
                edges[j] = edges[j+1];
                edges[j+1] = tmp;
            }
        }
    }

    printf("打印排序后的所有边-->%s \n", edges.description.UTF8String);

    //6.主流程:生成最小生成树
    /**
     每次需要将一条边添加到最小生存树时,判断该边的两个顶点的终点是否重合,
     重合的话则会构成回路。如果不重合,即不构成回路,可以加入最小生成树,更新终点数组ends
     */

    for (int i = 0; i<edges.count; i++) {

        //获取到第 i 条边的第一个顶点(起点)
        NSInteger p1 = [self getPositionWithVertexs:vertexs v:edges[i].start];

        //获取到第 i 条边的第 2 个顶点
        NSInteger p2 = [self getPositionWithVertexs:vertexs v:edges[i].end];

        //获取 p1 这个顶点在已有最小生成树中的终点
        NSInteger end1 = [self getEnd:ends i:p1];//加入第一条边E-F时,end1 = 4

        //获取 p2 这个顶点在已有最小生成树中的终点
        NSInteger end2 = [self getEnd:ends i:p2]; //加入第一条边E-F时,end2 = 5

        if (end1 != end2) {//如果边的两个顶点的终点不相等,所以不构成回路,可以加入最小生成树,更新终点数组ends
            [results addObject:edges[i]];
            ends[end1] = @(end2);
        }
    }

    //7.通过打印验证答案:<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
    printf("最后的最小生成树:\n");
    for (int i = 0; i<results.count; i++) {
        printf("%s ",results[i].description.UTF8String);
    }

}
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//核心算法之一
/**

 * 功能: 获取下标为 i 的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同

 * **@param** ends : 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中,逐步形成

 * **@param** i : 表示传入的顶点对应的下标

 * **@return** 返回的就是 下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解

 */

-(NSInteger)getEnd:(NSArray*)ends  i:(NSInteger)i{
    while ([ends[i] intValue] != 0) {
        i = [ends[i] intValue];
    }
    return i;
}
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/**

* 功能: 获取某顶点在图中所有顶点的下标,如果找不到,则返回-1

* @param vertexs : 图中所有顶点

* @param v : 表示传入的顶点

* @return 返回的就是 下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解

*/

-(NSInteger)getPositionWithVertexs:(NSArray*)vertexs v:(NSString*)v{
    for (int i = 0; i<vertexs.count; i++) {
        if ([vertexs[i] isEqualToString:v]) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}
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//EdgeData.h 文件
@interface EdgeData : NSObject

/**边的一个顶点*/
@property (nonatomic,strong) NSString * start;

/**边的另一个顶点*/
@property (nonatomic,strong) NSString * end;

/**边的另一个顶点*/
@property (nonatomic,assign) int weight;
//创建边,包含两个顶点和权重
- (instancetype)initWithStart:(NSString*)start end:(NSString*)end weight:(int)weight;
@end
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//EdgeData.m 文件
- (instancetype)initWithStart:(NSString*)start end:(NSString*)end weight:(int)weight
{
    self = [super init];
    if (self) {
        self.start = start;
        self.end = end;
        self.weight = weight;
    }
    return self;
}

- (NSString *)description
{
    return [NSString stringWithFormat:@"EdgeData<%@,%@>=%d", self.start,self.end,self.weight];
}
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