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1. 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法的本质是求最小生成树,可以解决类似于修路问题和公交站问题等问题。克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。原理是在含有 n 个顶点的连通图中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到 最小，则称其为连通网的最小生成树。假设有 n 个顶点,先把所有边按照权值从小到大排列,在里边按顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:
- 问题一 :对图的所有边按照权值大小进行排序。处理方式是采用排序算法进行排序。
- 问题二 :将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。判断形成回路的原理是并查集思想,处理方式是:记录每个顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
终点的解释: 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后; 某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。我们加入的边的两个顶点不能都指向同一 个终点，否则将构成回路。
2. 应用场景--公交站问题
- 1) 有北京有新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通
- 2) 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12 公里
- 3) 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
3. 解题过程
- 第 1 步:将边<E,F>加入 R 中。 边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 2 步:将边<C,D>加入 R 中。 上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 3 步:将边<D,E>加入 R 中。 上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 4 步:将边<B,F>加入 R 中。 上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 5 步:将边<E,G>加入 R 中。上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果 R 中。
- 第 6 步:将边<A,B>加入 R 中。上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<F,G>。同理，跳 过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果 R 中。
- 此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是:<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
生成最小生成树的过程如下图所示
4. 代码实现
-(void)kruskalCase{
//1. vertexs:存放图中的所有点
NSArray*vertexs = @[@"A",@"B",@"C",@"D",@"E",@"F",@"G"];
//2. matrix:用邻接矩阵存放图的权值
//使用 N 表示两个顶点不能连通
#define N 10000
NSMutableArray<NSMutableArray<NSNumber*>*>*matrix = [
/*A*/ /*B*/ /*C*/ /*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ @[@[@(0),@(12),@(N),@(N),@(N),@(16),@(14)],
/*B*/ @[@(12),@(0),@(10),@(N),@(N),@(7),@(N)],
/*C*/ @[@(N),@(10),@(0),@(3),@(5),@(6),@(N)],
/*D*/ @[@(N),@(N),@(3),@(0),@(4),@(N),@(N)],
/*E*/ @[@(N),@(N),@(5),@(4),@(0),@(2),@(8)],
/*F*/ @[@(16),@(7),@(6),@(N),@(2),@(0),@(9)],
/*G*/ @[@(14),@(N),@(N),@(N),@(8),@(8),@(0)]]
mutableCopy];
printf("打印这个邻接矩阵 \n");
for(int i = 0; i < matrix.count; i++) {
for(int j = 0; j < matrix.count; j++) {
printf("%5d ",[matrix[i][j] intValue]);
}
printf("\n");
}
printf("\n");
[self kruskalWithVertexs:vertexs matrix:matrix];
}
-(void)kruskalWithVertexs:(NSArray*)vertexs matrix:(NSMutableArray<NSMutableArray<NSNumber*>*>*)matrix{
//1.vlen: 顶点的总数
NSInteger vlen = vertexs.count;
//2.results:结果数组, 保存最后的最小生成树
NSMutableArray<EdgeData*>* results = [[NSMutableArray alloc]initWithCapacity:vlen];
//3.ends用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点,ends中存放的是终点的下标
//ends初始化为 0
NSMutableArray*ends = [NSMutableArray array];
for (int i = 0; i < vertexs.count; i++) {
ends[i] = @(0);
}
//4. 统计图的所有的边edges
NSMutableArray<EdgeData*>*edges = [NSMutableArray array];
for(int i = 0; i < vlen; i++) {
for(int j = i+1; j < vlen; j++) {
if([matrix[i][j] intValue] != NONE ) {
EdgeData*edge = [[EdgeData alloc]initWithStart:vertexs[i] end:vertexs[j] weight:[matrix[i][j] intValue]];
[edges addObject:edge];
}
}
}
printf("打印排序前的所有边-->%s \n", edges.description.UTF8String);
//5. 根据边的权值,把所有的边排序(这里用冒泡排序)
for (int i = 0; i<edges.count-1; i++) {
for (int j = 0; j<edges.count-1-i; j++) {
if (edges[j].weight > edges[j+1].weight) {
EdgeData*tmp = edges[j];
edges[j] = edges[j+1];
edges[j+1] = tmp;
}
}
}
printf("打印排序后的所有边-->%s \n", edges.description.UTF8String);
//6.主流程:生成最小生成树
/**
每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，
重合的话则会构成回路。如果不重合,即不构成回路,可以加入最小生成树,更新终点数组ends
*/
for (int i = 0; i<edges.count; i++) {
//获取到第 i 条边的第一个顶点(起点)
NSInteger p1 = [self getPositionWithVertexs:vertexs v:edges[i].start];
//获取到第 i 条边的第 2 个顶点
NSInteger p2 = [self getPositionWithVertexs:vertexs v:edges[i].end];
//获取 p1 这个顶点在已有最小生成树中的终点
NSInteger end1 = [self getEnd:ends i:p1];//加入第一条边E-F时,end1 = 4
//获取 p2 这个顶点在已有最小生成树中的终点
NSInteger end2 = [self getEnd:ends i:p2]; //加入第一条边E-F时,end2 = 5
if (end1 != end2) {//如果边的两个顶点的终点不相等,所以不构成回路,可以加入最小生成树,更新终点数组ends
[results addObject:edges[i]];
ends[end1] = @(end2);
}
}
//7.通过打印验证答案:<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
printf("最后的最小生成树:\n");
for (int i = 0; i<results.count; i++) {
printf("%s ",results[i].description.UTF8String);
}
}
//核心算法之一
/**
* 功能: 获取下标为 i 的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同
* **@param** ends : 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成
* **@param** i : 表示传入的顶点对应的下标
* **@return** 返回的就是 下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
*/
-(NSInteger)getEnd:(NSArray*)ends i:(NSInteger)i{
while ([ends[i] intValue] != 0) {
i = [ends[i] intValue];
}
return i;
}
/**
* 功能: 获取某顶点在图中所有顶点的下标,如果找不到,则返回-1
* @param vertexs : 图中所有顶点
* @param v : 表示传入的顶点
* @return 返回的就是 下标为 i 的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解
*/
-(NSInteger)getPositionWithVertexs:(NSArray*)vertexs v:(NSString*)v{
for (int i = 0; i<vertexs.count; i++) {
if ([vertexs[i] isEqualToString:v]) {
return i;
}
}
return -1;
}
//EdgeData.h 文件
@interface EdgeData : NSObject
/**边的一个顶点*/
@property (nonatomic,strong) NSString * start;
/**边的另一个顶点*/
@property (nonatomic,strong) NSString * end;
/**边的另一个顶点*/
@property (nonatomic,assign) int weight;
//创建边,包含两个顶点和权重
- (instancetype)initWithStart:(NSString*)start end:(NSString*)end weight:(int)weight;
@end
//EdgeData.m 文件
- (instancetype)initWithStart:(NSString*)start end:(NSString*)end weight:(int)weight
{
self = [super init];
if (self) {
self.start = start;
self.end = end;
self.weight = weight;
}
return self;
}
- (NSString *)description
{
return [NSString stringWithFormat:@"EdgeData<%@,%@>=%d", self.start,self.end,self.weight];
}
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