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前言

力扣第六十题 排列序列 如下所示：

给出集合 [1,2,3,...,n]，其所有元素共有 n! 种排列。

按大小顺序列出所有排列情况，并一一标记，当 n = 3 时, 所有排列如下：

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

给定 n 和 k，返回第 k 个排列。

示例 1：

输入： n = 3, k = 3
输出： "213"

示例 2：

输入： n = 4, k = 9
输出： "2314"

示例 3：

输入： n = 3, k = 1
输出： "123"

一、思路

排列序列 这一题题目比较短，很容易理解。就是在返回集合 [1~n] 所有排列中的第 K 个位置的排列

看到题目后我大概的思路分为以下两个步骤：

递归生成所有的排列，每生成一种排列让计数 count++
当 count == k 时，返回当前的结果

伪代码如下所示：

    int count = 0;
    String ret = "";
    public String getPermutation(int n, int k) {
        dfs("", n, k);
        return ret;
    }

    public void dfs( String path, int n, int k) {
        if (path.length() == n) {
            count++; ret = path;
            return;
        }
        for (int i=1; i<n+1; i++) {
            if (count == k) return;
            if (path.contains(i+"")) continue;
            dfs(path + i, n, k);
        }
    }

直达在我碰到了 n = 9, k = 353955 的测试用例，试了五遍左右，一直会超时。

不过我有一个疑惑，这个代码在力扣上会超时，但是在我本地是不会有这个问题的。我猜测可能是力扣上面对时间要求更严格吧。

既然递归无法解决此问题，那么就得另辟蹊径了。在看了超过十遍力扣的官方解法后，很悲惨的发现看不懂官方说的数学 + 缩小问题规模解法。

于是我就问了我的女朋友，它告诉我了一个非常重要的规律：
因为选择数的过程是从左往右，从小往大的，所以第k个排列的第一个数为第 (k-1)/(n-1)! + 1 小的数，后面的数也可以相同处理

这句话怎么理解呢？

假设第 k 个排列为 {a1, a2, a3, ..., an}

我们知道以 ai 作为第一个数的可能有 (n-1)! 种，所以：

第一个数为第 P1 = (k-1)/(n-1)! + 1（向上取整，最小值为1）小的数，此处的 p 表示未被选择过的数种从左到位选择的位置
那么第二个数为第 P2 = k - (P1-1)*(n-1)! 小的数，因为要减去以 a1 为第一个数的所有可能
...
第 n 个数为第 Pn = k - (P'n-1' - 1)*(0)! 小的数，要减去以 an-1 为第一个数的可能

举个例子

以 n=4，k=9 作为例子

第一个数的位置为 P1 = 2，故选择未选择种第 2 个小的数 2
我们在这里相当于处理 n = 3, k = 3（数组为 [1, 3, 4]）的第一个数应该选什么？此时 P2 = 2，故选择 3
此时处理 n=2，k=1（数组为 [1, 4]），可得 P3 = 1，故选择 1
此时处理 n=1，k=1（数组为 [4]），可得 P4 = 1，故选择 4
最终第 9 个排列为 2314

综上所述，我们永远只关心第一个数是什么（对于后面的数来说，也是要处理子排列种的第一个数）

二、实现

实现代码

    public String getPermutation(int n, int k) {
        StringBuilder ret = new StringBuilder();
        int[] factorial = new int[n];   // 0 ~ (n-1) 对应的阶乘
        factorial[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            factorial[i] = factorial[i - 1] * i;
        }
        boolean[] selected = new boolean[n+1];
        while (ret.length() < n) {
            // 当前应当选择第几大的数
            int p = (k - 1) / factorial[n-1-ret.length()] + 1;
            k = k - (p -1) * factorial[n-1-ret.length()];
            int count = 0;
            for (int i=1; i<selected.length; i++) {
                if (selected[i])
                    continue;
                count++;
                if (count == p) {
                    ret.append(i);
                    selected[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return ret.toString();
    }

测试代码

    public static void main(String[] args) {
        new Number60().getPermutation(4, 9);
    }

结果

三、总结

感谢看到最后，非常荣幸能够帮助到你~♥

力扣第六十题-排列序列

前言