【刷穿 LeetCode】881. 救生艇 : 归纳法证明贪心解为最优解之一

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题目描述

这是 LeetCode 上的 881. 救生艇 ,难度为 中等

Tag : 「贪心」、「双指针」

第 i 个人的体重为 people[i],每艘船可以承载的最大重量为 limit

每艘船最多可同时载两人,但条件是这些人的重量之和最多为 limit

返回载到每一个人所需的最小船数。(保证每个人都能被船载)。

示例 1:

输入:people = [1,2], limit = 3

输出:1

解释:1 艘船载 (1, 2)

示例 2:

输入:people = [3,2,2,1], limit = 3

输出:3

解释:3 艘船分别载 (1, 2), (2) 和 (3)

示例 3:

输入:people = [3,5,3,4], limit = 5

输出:4

解释:4 艘船分别载 (3), (3), (4), (5)

提示:

  • 1 <= people.length <= 50000
  • 1 <= people[i] <= limit <= 30000

贪心

一个直观的想法是:由于一个船要么载两人要么载一人,在人数给定的情况下,为了让使用的总船数最小,要当尽可能让更多船载两人,即尽可能多的构造出数量之和不超过 limitlimit 的二元组。

先对 peoplepeople 进行排序,然后使用两个指针 lr 分别从首尾开始进行匹配:

  • 如果 people[l]+people[r]<=limitpeople[l] + people[r] <= limit,说明两者可以同船,此时船的数量加一,两个指针分别往中间靠拢;
  • 如果 people[l]+people[r]>limitpeople[l] + people[r] > limit,说明不能成组,由于题目确保人的重量不会超过 limitlimit,此时让 people[r]people[r] 独立成船,船的数量加一,r 指针左移。

我们猜想这样「最重匹配最轻、次重匹配次轻」的做法能使双人船的重量之和尽可能平均,从而使双人船的数量最大化。

接下来,我们使用「归纳法」证明猜想的正确性。

假设最优成船组合中二元组的数量为 c1c1,我们贪心做法的二元组数量为 c2c2

最终答案 = 符合条件的二元组的数量 + 剩余人数数量,而在符合条件的二元组数量固定的情况下,剩余人数也固定。因此我们只需要证明 c1=c2c1 = c2 即可。

通常使用「归纳法」进行证明,都会先从边界入手。

当我们处理最重的人 people[r]people[r](此时 rr 为原始右边界 n1n - 1)时:

  • 假设其与 people[l]people[l](此时 ll 为原始左边界 00)之和超过 limitlimit,说明 people[r]people[r] 与数组任一成员组合都会超过 limitlimit,即无论在最优组合还是贪心组合中,people[r]people[r] 都会独立成船;

  • 假设 people[r]+people[l]<=limitpeople[r] + people[l] <= limit,说明数组中存在至少一个成员能够与 people[l]people[l] 成船:

    • 假设在最优组合中 people[l]people[l] 独立成船,此时如果将贪心组合 (people[l],people[r])(people[l], people[r]) 中的 people[l]people[l] 拆分出来独立成船,贪心二元组数量 c2c2 必然不会变大(可能还会变差),即将「贪心解」调整成「最优解」结果不会变好;

    • 假设在最优组合中,people[l]people[l] 不是独立成船,又因此当前 rr 处于原始右边界,因此与 people[l]people[l] 成组的成员 people[x]people[x] 必然满足 people[x]<=people[r]people[x] <= people[r]。 此时我们将 people[x]people[x]people[r]people[r] 位置进行交换(将贪心组合调整成最优组合),此时带来的影响包括:

      • people[l]people[l] 成组的对象从 people[r]people[r] 变为 people[x]people[x],但因为 people[x]<=people[r]people[x] <= people[r],即有 people[l]+people[x]<=people[l]+people[r]<=limitpeople[l] + people[x] <= people[l] + people[r] <= limit,仍为合法二元组,消耗船的数量为 11
      • 原本位置 xx 的值从 people[x]people[x] 变大为 people[r]people[r],如果调整后的值能组成二元组,那么原本更小的值也能组成二元组,结果没有变化;如果调整后不能成为组成二元组,那么结果可能会因此变差。

      综上,将 people[x]people[x]people[r]people[r] 位置进行交换(将贪心组合调整成最优组合),贪心二元组数量 c2c2 不会变大,即将「贪心解」调整成「最优解」结果不会变好。

对于边界情况,我们证明了从「贪心解」调整为「最优解」不会使得结果更好,因此可以保留当前的贪心决策,然后将问题规模缩减为 n1n - 1 或者 n2n - 2,同时数列仍然满足升序特性,即归纳分析所依赖的结构没有发生改变,可以将上述的推理分析推广到每一个决策的回合(新边界)中。

至此,我们证明了「贪心组合所得的总船数」不会比「最优组合所得总船数」更多,即贪心解是最优解之一。

代码:

class Solution {
    public int numRescueBoats(int[] people, int limit) {
        Arrays.sort(people);
        int n = people.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        int ans = 0;
        while (l <= r) {
            if (people[l] + people[r] <= limit) l++;
            r--;
            ans++;
        }
        return ans;
    }
}
  • 时间复杂度:排序复杂度为 O(nlogn)O(n\log{n});双指针统计答案复杂度为 O(n)O(n)。整体复杂度为 O(nlogn)O(n\log{n})
  • 空间复杂度:O(logn)O(\log{n})

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.881 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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