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图的应用

一、最小生成树

一个连通图的生成树是图的极小连通子图，它包含图中所有顶点和尽可能少的边，且一个连通图可能有多个生成树对一个带权的连通有向图G，生成树不同，每棵树的权（树中所有边上的权值之和）也可能不同，对于树的权最小的那棵生成树称为图G的最小生成树由定义知最小生成树的性质：

最小生成树不一定唯一，树形也不一定唯一，但当图G中的各边权值互不相等时，图G的最小生成树唯一
最小生成树的边的权值之和总是唯一的，而且是最小的
最小生成树的边数为顶点数减1 已知一个图G如何构造它的最小生成树？

两种方法：普里姆（Prim）算法
库鲁斯卡尔（Kruskal）算法一、最小生成树

1.普里姆（Prim）算法

算法步骤：

①初始化：向空树T={𝑉𝑇,𝐸𝑇}中添加图G=(V,E)中的任一顶点𝑢0，使𝑉𝑇={𝑢0}，𝐸𝑇=∅

②循环（重复下列操作直到𝑉𝑇=V）：从图G中选择满足{(u,v)|u∈ 𝑉𝑇,v∈ 𝑉 −𝑉𝑇} 且具有最小权值的边(u,v),并置𝑉𝑇=𝑉𝑇 ∪ {𝑣} ，𝐸𝑇 = 𝐸𝑇 ∪{(𝑢,𝑣)}

Prim算法的伪代码实现

void  Prim(G,T){
T= ∅; //初始化空树
U={w};                      //添加任一顶点w
while((V-U)!= ∅){ //树中不含全部顶点时继续循环
T=T∪{(u,v)};       //设(u,v)是权值最小的满足条件的边，边归入树 U=U∪{v};            //顶点归入树
}
}

注意：

Prim算法的时间复杂度为O(|V|2),不依赖于|E|
因此该算法适合求解顶点少但边稠密的图的最小生成树
Prim算法是基于贪心策略，每次选取都是当前子问题的最优解，局部最优整体构成全局最优
本算法考研会主要考察相关算法思想和手工模拟算法的步骤，一般不会考实际代码实现

2.克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

算法步骤：

①初始化：𝑉𝑇=V,𝐸𝑇 = ∅。即每个顶点构成一棵独立的树，T此时是一个含有 |V|个顶点的森林

②循环（重复下列操作直到T是一棵树）：按G的边的权值递增顺序依次从 E-𝐸𝑇中选择一条边，如果这条边加入后不构成回路，则将其加入𝐸𝑇，否则舍弃，直到𝐸𝑇中含有n-1条边

Kruskal算法的伪代码实现

void  Kruskal(V,T){
T= 𝑉; //初始化树T,仅含顶点
numS=n;                      //连通分量数 while(numS>1){       //连通分量大于1继续循环
从E中取出权值最小的边(v,u); 
if(v和u属于T中不同的连通分量){
T=T∪{(v,u)};            //将此边加入生成树中 numS--;                    //连通分量数减1
}
}

注意：

Kruskal算法中，可采用小顶堆（也叫小根堆）来存放边的集合，则每次选择最小权值的边只需O(log|E|)的时间，这种取最小权值的边需要执行 |E|-1次，故总的时间复杂度为O(|E|log|E|)
因此该算法适合求解顶点多但边稀疏的图的最小生成树
Kruskal算法是基于贪心策略，每次选取都是当前子问题的最优解，局部最优整体构成全局最优
本算法考研会主要考察相关算法思想和手工模拟算法的步骤，一般不会考实际代码实现

考研数据结构 第6章图|图的应用一、最小生成树