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(算法入门)人人都能看懂的时间复杂度和空间复杂度

(算法入门)人人都能看懂的时间复杂度和空间复杂度

你是怎么理解算法的呢?

简单说就是,同一个功能

  • 别人写的代码跑起来占内存 100M,耗时 100 毫秒
  • 你写的代码跑起来占内存 500M,耗时 1000 毫秒,甚至更多

所以

  1. 衡量代码好坏有两个非常重要的标准就是:运行时间占用空间,就是我们后面要说到的时间复杂度空间复杂度也是学好算法的重要基石
  2. 这也是会算法和不会算法的攻城狮的区别、更是薪资的区别,因为待遇好的大厂面试基本都有算法

可能有人会问:别人是怎么做到的?代码没开发完 运行起来之前怎么知道占多少内存和运行时间呢?

确切的占内用存或运行时间确实算不出来,而且同一段代码在不同性能的机器上执行的时间也不一样,可是代码的基本执行次数,我们是可以算得出来的,这就要说到时间复杂度了

什么是时间复杂度

看个栗子

function foo1(){
    console.log("我吃了一颗糖")
    console.log("我又吃了一颗糖")
    return "再吃一颗糖"
}
复制代码

调用这个函数,里面总执行次数就是3次,这个没毛病,都不用算

那么下面这个栗子呢

function foo2(n){
    for( let i = 0; i < n; i++){
        console.log("我吃了一颗糖")
    }
    return "一颗糖"
}
复制代码

那这个函数里面总执行次数呢?根据我们传进去的值不一样,执行次数也就不一样,但是大概次数我们总能知道

let = 0               :执行 1 次
i < n                 : 执行 n+1 次
i++                   : 执行 n+1 次
console.log("执行了")  : 执行 n 次
return 1              : 执行 1 次
复制代码

这个函数的总执行次数就是 3n + 4 次,对吧

可是我们开发不可能都这样去数,所以根据代码执行时间的推导过程就有一个规律,也就是所有代码执行时间 T(n)和代码的执行次数 f(n) ,这个是成正比的,而这个规律有一个公式

T(n) = O( f(n) )

n 是输入数据的大小或者输入数据的数量  
T(n) 表示一段代码的总执行时间   
f(n) 表示一段代码的总执行次数   
O  表示代码的执行时间 T(n) 和 执行次数f(n) 成正比
复制代码

完整的公式看着就很麻烦,别着急,这个公式只要了解一下就可以了,为的就是让你知道我们表示算法复杂度的 O() 是怎么来的,我们平时表示算法复杂度主要就是用 O(),读作大欧表示法,是字母O不是零

只用一个 O() 表示,这样看起来立马就容易理解多了

回到刚才的两个例子,就是上面的两个函数

  • 第一个函数执行了3次,用复杂度表示就是 O(3)
  • 第二个函数执行了3n + 4次,复杂度就是 O(3n+4)

这样有没有觉得还是很麻烦,因为如果函数逻辑一样的,只是执行次数差个几次,像O(3) 和 O(4),有什么差别?还要写成两种就有点多此一举了,所以复杂度里有统一的简化的表示法,这个执行时间简化的估算值就是我们最终的时间复杂度

简化的过程如下

  • 如果只是常数直接估算为1,O(3) 的时间复杂度就是 O(1),不是说只执行了1次,而是对常量级时间复杂度的一种表示法。一般情况下,只要算法里没有循环和递归,就算有上万行代码,时间复杂度也是O(1)
  • O(3n+4) 里常数4对于总执行次数的几乎没有影响,直接忽略不计,系数 3 影响也不大,因为3n和n都是一个量级的,所以作为系数的常数3也估算为1或者可以理解为去掉系数,所以 O(3n+4) 的时间复杂度为 O(n)
  • 如果是多项式,只需要保留n的最高次项O( 666n³ + 666n² + n ),这个复杂度里面的最高次项是n的3次方。因为随着n的增大,后面的项的增长远远不及n的最高次项大,所以低于这个次项的直接忽略不计,常数也忽略不计,简化后的时间复杂度为 O(n³)

这里如果没有理解的话,暂停理解一下

接下来结合栗子,看一下常见的时间复杂度

常用时间复杂度

O(1)

上面说了,一般情况下,只要算法里没有循环和递归,就算有上万行代码,时间复杂度也是 O(1),因为它的执行次数不会随着任何一个变量的增大而变长,比如下面这样

function foo(){
    let n = 1
    let b = n * 100
    if(b === 100){
        console.log("开始吃糖")
    }
    console.log("我吃了1颗糖")
    console.log("我吃了2颗糖")
    ......
    console.log("我吃了10000颗糖")
}
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O(n)

上面也介绍了 O(n),总的来说 只有一层循环或者递归等,时间复杂度就是 O(n),比如下面这样

function foo1(n){
    for( let i = 0; i < n; i++){
        console.log("我吃了一颗糖")
    }
}
function foo2(n){
    while( --n > 0){
        console.log("我吃了一颗糖")
    }
}
function foo3(n){
    console.log("我吃了一颗糖")
    --n > 0 && foo3(n)
}
复制代码

O(n²)

比如嵌套循环,如下面这样的,里层循环执行 n 次,外层循环也执行 n 次,总执行次数就是 n x n,时间复杂度就是 n 的平方,也就是 O(n²)。假设 n 是 10,那么里面的就会打印 10 x 10 = 100 次

function foo1(n){
    for( let i = 0; i < n; i++){
        for( let j = 0; j < n; j++){
            console.log("我吃了一颗糖")
        }
    }
}
复制代码

还有这样的,总执行次数为 n + n²,上面说了,如果是多项式,取最高次项,所以这个时间复杂度也是 O(n²)

function foo2(n){
    for( let k = 0; k < n; k++){
        console.log("我吃了一颗糖")
    }
    for( let i = 0; i < n; i++){
        for( let j = 0; j < n; j++){
            console.log("我吃了一颗糖")
        }
    }
}

//或者下面这样,以运行时间最长的,作为时间复杂度的依据,所以下面的时间复杂度就是 O(n²)
function foo3(n){
    if( n > 100){
        for( let k = 0; k < n; k++){
            console.log("我吃了一颗糖")
        }
    }else{
        for( let i = 0; i < n; i++){
            for( let j = 0; j < n; j++){
                console.log("我吃了一颗糖")
            }
        }
    }
}
复制代码

O(logn)

举个栗子,这里有一包糖

asdf.jpeg

这包糖里有16颗,沐华每天吃这一包糖的一半,请问多少天吃完?

意思就是16不断除以2,除几次之后等于1?用代码表示

function foo1(n){
    let day = 0
    while(n > 1){
        n = n/2
        day++
    }
    return day
}
console.log( foo1(16) ) // 4
复制代码

循环次数的影响主要来源于 n/2 ,这个时间复杂度就是 O(logn) ,这个复杂度是怎么来的呢,别着急,继续看

再比如下面这样

function foo2(n){
    for(let i = 0; i < n; i *= 2){
        console.log("一天")
    }
}
foo2( 16 )
复制代码

里面的打印执行了 4 次,循环次数主要影响来源于 i *= 2 ,这个时间复杂度也是 O(logn)

这个 O(logn) 是怎么来的,这里补充一个小学三年级数学的知识点,对数,我们看一张图

未标题-1.jpg

没有理解的话再看一下,理解一下规律

  • 真数:就是真数,这道题里就是16
  • 底数:就是值变化的规律,比如每次循环都是i*=2,这个乘以2就是规律。比如1,2,3,4,5...这样的值的话,底就是1,每个数变化的规律是+1嘛
  • 对数:在这道题里可以理解成x2乘了多少次,这个次数

仔细观察规律就会发现这道题里底数是 2,而我们要求的天数就是这个对数4,在对数里有一个表达公式

ab = n  读作以a为底,b的对数=n,在这道题里我们知道a和n的值,也就是  2b = 16 然后求 b

把这个公式转换一下的写法如下

logan = b    在这道题里就是   log216 = ?  答案就是 4

公式是固定的,这个16不是固定的,是我们传进去的 n,所以可以理解为这道题就是求 log2n = ?

用时间复杂度表示就是 O(log2n),由于时间复杂度需要去掉常数和系数,而log的底数跟系数是一样的,所以也需要去掉,所以最后这个正确的时间复杂度就是 O(logn)

emmmmm.....

没有理解的话,可以暂停理解一下

其他还有一些时间复杂度,我由快到慢排列了一下,如下表顺序

复杂度名称
O(1)常数复杂度
O(logn)对数复杂度
O(n)线性时间复杂度
O(nlogn)线性对数复杂度
O(n²)平方
O(n³)立方
O(2n)指数,一点数据量就卡的不行
O(n!)阶乘,就更慢了

这些时间复杂度有什么区别呢,看张图

未标题-3.jpg

随着数据量或者 n 的增大,时间复杂度也随之增加,也就是执行时间的增加,会越来越慢,越来越卡

总的来说时间复杂度就是执行时间增长的趋势,那么空间复杂度就是存储空间增长的趋势

什么是空间复杂度

空间复杂度就是算法需要多少内存,占用了多少空间

常用的空间复杂度有 O(1)O(n)O(n²)

O(1)

只要不会因为算法里的执行,导致额外的空间增长,就算是一万行,空间复杂度也是 O(1),比如下面这样,时间复杂度也是 O(1)

function foo(){
    let n = 1
    let b = n * 100
    if(b === 100){
        console.log("开始吃糖")
    }
    console.log("我吃了1颗糖")
    console.log("我吃了2颗糖")
    ......
    console.log("我吃了10000颗糖")
}
复制代码

O(n)

比如下面这样,n 的数值越大,算法需要分配的空间就需要越多,来存储数组里的值,所以它的空间复杂度就是 O(n),时间复杂度也是 O(n)

function foo(n){
    let arr = []
    for( let i = 1; i < n; i++ ) {
        arr[i] = i
    }
}
复制代码

O(n²)

O(n²) 这种空间复杂度一般出现在比如二维数组,或是矩阵的情况下

不用说,你肯定明白是啥情况啦

就是遍历生成类似这样格式的

let arr = [
    [1,2,3,4,5],
    [1,2,3,4,5],
    [1,2,3,4,5]
]
复制代码

结语

希望本文对你有一点点帮助,另外,求个赞,谢谢! ^_^

想要学好算法,就必须要理解复杂度这个重要基石

复杂度分析不难,关键还是在于多练。每次看到代码的时候,简单的一眼就能看出复杂度,难的稍微分析一下也能得出答案。推荐去 leetCode 刷题哦,App或者PC端都可以

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