一、必读文章——dp解题套路框架
动态规划问题的一般形式就是求最值。比如最长递增子序列、最小编辑距离等等。
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求解动态规划的核心问题是穷举，动态规划三要素：
- 这类问题存在「重叠子问题」，如果暴力穷举的话效率会极其低下，所以需要「备忘录」或者「DP table」来优化穷举过程，避免不必要的计算。
- 而且，动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。
- 只有列出正确的「状态转移方程」，才能正确地穷举。
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状态转移方程框架：明确 base case -> 明确「状态」 -> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义
1.1、fib数列
非dp问题，只具有重叠子问题特性
使用「备忘录」的递归
使用「备忘录」，把使用暴力递归解法时，复杂度为O(n^2)的递归调用树，降低为复杂度为O(n)的树。
实际上，这种解法和迭代的动态规划已经差不多了，只不过这种方法叫做「自顶向下」，动态规划叫做「自底向上」。
啥叫「自顶向下」？注意我们刚才画的递归树（或者说图），是从上向下延伸，都是从一个规模较大的原问题比如说 f(20)，向下逐渐分解规模，直到 f(1) 和 f(2) 这两个 base case，然后逐层返回答案，这就叫「自顶向下」。
啥叫「自底向上」？反过来，我们直接从最底下，最简单，问题规模最小的 f(1) 和 f(2) 开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20)，这就是动态规划的思路，这也是为什么动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算。
使用「DP table」的迭代
优化DP table
根据斐波那契数列的状态转移方程，当前状态只和之前的两个状态有关，其实并不需要那么长的一个 DP table 来存储所有的状态，只要想办法存储之前的两个状态就行了。所以，可以进一步优化，把空间复杂度降为 O(1)。
这个技巧就是所谓的*「状态压缩」*。
1.2、凑零钱问题
如何列出正确的状态转移方程？
1、确定 base case，确定最基础的情形，一般是题目给出的 / 不用计算可以一眼看出来的。
2、确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。
3、确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。做了一个选择，会导致状态变化；不做选择，延续原来的状态。
4、明确 dp 数组 / 函数的定义。
二、子序列类型问题
1、一维dp数组
dp[i] 一般表示以 nums[i] 这个数结尾的目标子序列的长度。
最长递增子序列
求解连续数组；一维dp数组
最大子数组
求解连续数组；一维dp数组；状态压缩
涉及两个字符串/数组时（比如最长公共子序列、编辑距离），dp 数组的含义如下：
在子数组
arr1[0..i]和子数组arr2[0..j]中，我们要求的子序列（最长公共子序列）长度为dp[i][j]。只涉及一个字符串/数组时（比如最长回文子序列），dp 数组的含义如下：
在子数组
array[i..j]中，我们要求的子序列（最长回文子序列）的长度为dp[i][j]。
2、二维dp数组 - 单字符串
最长回文子序列
求解离散序列；二维dp数组
3、二维dp数组 - 双字符串
最长公共子序列
对于两个字符串求子序列的问题，都是用两个指针
i和j分别在两个字符串上移动，大概率是动态规划思路。
