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动态规划一直被认为是最难理解的一种算法思想，什么重叠子问题、动态转移方程、最优子结构等等，一听就高深莫测，没有往下学习下去的动力。接下了我会更新一系列的文章来把动态规划这个算法思想尽量去讲明白，希望对你在以后的学习生活中提供一些帮助。没有关注的同学先点个关注吧。
一、初识动态规划
废话不多说，我们直接先上一个经典的例子。那就是耳熟能详的斐波那契数列问题。我们先来看一下问题的定义。
斐波那契数列的定义如下：
斐波那契数列指的是这样一个数列 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,.....
它以递归的方法来定义：
F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）
- 递归解决： 这个例子最直观的方法就是用递归的方式来实现，毕竟斐波那契数列是用递归来定义的。我们来看一下代码实现。
def fibs(n):
if n<2:
return n
return fibs(n-1)+fibs(n-2)
这样是不是很简单。我们接下来看一下调用的递归树。我们以fibs(6)为例。
其中每个结点表示要计算的斐波那契数列的第几项，我们可以从上图发现，会出现许多重复计算的问题，比如fib(4)就计算了两次。这样就会带来时间和空间上的消耗，那我们有什么方式可以避免重复计算的问题。我们可以使用递归中的“备忘录”功能来解决。我们来看一下代码如何实现。\
class Fib:
def flibs(self,n):
#备忘录数据，用来存放已经计算过的项
self.catch=[-1 for i in range(n+1)]
print(self.catch)
return self._fibs(n)
def _fibs(self,n):
if n<2:
if self.catch[n]==-1:
self.catch[n]=n
return self.catch[n]
if self.catch[n-1]==-1:
self.catch[n-1]=self._fibs(n-1)
if self.catch[n-2]==-1:
self.catch[n-2]=self._fibs(n-2)
self.catch[n]=self.catch[n-1]+self.catch[n-2]
return self.catch[n]
f=Fib()
print(f.flibs(6))
print(f.catch)
这种方法可以减低重复计算的问题，这已经和动态规划的效率差不多了，但是这代码看起来非常冗余，也不是所有问题都能用这种方法来解决的。下面我们就来看一下动态规划。\
二、用动态规划解决
我们把整个求解过程分为n个阶段，每个阶段去求解数列对应项的值。我们在解决当前问题时，也就是求解该对应项的值的时候，会依赖过去的状态，也就是前面几项的值来计算。比如我们在求解fibs(6)的时候，我们需要用到fibs(5)和fibs(4)这两项。 我们来定义一个数组，来记录每项的状态。我们也叫做状态转移矩阵。 按照斐波那契数列的定义：
F(0)=0,F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>=2)
我们可以看到F(n)的值只与他的前两个状态有关。所以我们只要知道他的前两个状态，就可以求出F(n)。
- 初始化值F(0)=0，F(1)=1，我们直接放入数组中。
- 要想计算F(2)，我们需要知道F(0)和F(1)，因为上一步已经放入数组中，我们直接拿来用就好了，然后把F(2)的结果放入数组中。
- 要想计算F(3)，我们需要知道F(2)和F(1)，因为F(2)和F(1)已经存在数组里了，我们直接拿来用就好了，然后把F(3)的结果放入数组中。
....
依此类推，知道计算到n为止。整个状态转移矩阵就计算好了。如下图所示。我们以求解F(5)为例。
下面我们直接看代码实现，这样比较简单明了。
def fibs(n):
if n<2:
return n
dp=[0 for _ in range(n+1)]
dp[0]=0
dp[1]=1
for i in range(2,n+1):
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
return dp[n]
print(fibs(6))
上面的代码是不是很简洁明了。这就是一种用动态规划来解决问题的思路。我们把问题分解为n个阶段，一个阶段一个阶段去求解。然后通过当前状态，来求出下一个状态，动态的往前推进，这是不是还挺形象的。今天我们就先分享到这里，下一篇我们从0、1背包问题出发，来吃透动态规划。为了不错过，记得点个关注呀。
今天我们没有涉及太多的理论知识，只是从一个简单的问题入手，体验了一下动态规划的强大思想。其实，大部分动态规划能解决的问题，都可以用回溯算法来解决，如果不熟悉回溯算法，可以看从八皇后问题到回溯算法这篇文章。只不过回溯算法解决起来效率比较低，时间复杂度较高。动态规划算法，在执行效率上会高很多，但是为了存储每一步的状态，空间复杂度也相应的提高了。所以，很多时候我们会说，动态规划是一种空间换时间的算法思想。
