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深入浅出贝塞尔曲线

贝塞尔曲线的定义及推导过程

  贝塞尔曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝兹(Pierre Bézier)所广泛发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发,以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。贝塞尔曲线由n个控制点对应着n-1阶的贝塞尔曲线,并且可以通过递归的方式来绘制。

  下面先给出n阶贝塞尔曲线的公式

n阶.svg

一阶贝塞尔曲线

一阶动画.gif

  设定图中运动的点为PtP_ttt为运动时间,t(0,1t∈(0,1),可得如下公式

Pt=P0+(P1P0)t=(1t)P0+P1t(1)P_t=P_0+\left(P_1-P_0\right)t=\left(1-t\right)P_0+P_1t \tag {1}

二阶贝塞尔曲线

二阶动画.gif

  二阶贝塞尔曲线由P0P_0P1P_1P2P_2三个点来确定,其中P0P_0为起点,P2P_2为终点,P1P_1为控制点,曲线方程为:

Pt=(1t)2P0+2t(1t)P1+t2P2t(0,1)P_t= \left(1-t\right)^2P_0+2t\left(1-t\right)P_1+t^2P_2 \quad\quad t\in\left(0,1\right)

二阶绘图.png

  1. 已知三个点P0P_0P1P_1P2P_2,连接线段P0P1P_0P_1P1P2P_1P_2
  2. PaP_aP0P1P_0P_1上,随时间t从P0P_0运动到P1P_1,使得P0Pa/P0P1=tP_0P_a/P_0P_1=t
  3. PbP_bP1P2P_1P_2上,随时间t从P1P_1运动到P2P_2,使得P1Pb/P1P2=tP_1P_b/P_1P_2=t
  4. 连接线段PaPbP_aP_b
  5. PtP_tPaPbP_aP_b上,随时间t从PaP_a运动到PbP_b,使得PaPt/PaPb=tP_aP_t/P_aP_b=t
  6. tt从0变化到1的过程中,所有PtP_t点就组成了二阶贝塞尔曲线。

  由公式(1)可得

Pa=P0+(P1P0)t=(1t)P0+P1t(2)P_a=P_0+\left(P_1-P_0\right)t=\left(1-t\right)P_0+P_1t \tag {2}
Pb=P1+(P2P1)t=(1t)P1+P2t(3)P_b=P_1+\left(P_2-P_1\right)t=\left(1-t\right)P_1+P_2t \tag {3}
Pt=Pa+(PbPa)t=(1t)Pa+Pbt(4)P_t=P_a+\left(P_b-P_a\right)t=\left(1-t\right)P_a+P_bt \tag {4}

  将公式(2)和公式(3)代入公式(4)可得

Pt=Pa+(PbPa)t=(1t)Pa+Pbt=(1t)[(1t)P0+P1t]+t[(1t)P1+P2t]=(1t)2P0+2t(1t)P1+t2P2\begin{aligned} P_t&=P_a+\left(P_b-P_a\right)t=\left(1-t\right)P_a+P_bt \\ &=\left(1-t\right) \left[ \left(1-t\right)P_0+P_1t \right]+t \left[ \left( 1-t\right)P_1+P2t\right]\\ &=\left(1-t\right)^2P_0+2t\left(1-t\right)P_1+t^2P_2 \end{aligned}

三阶贝塞尔曲线

三阶动画.gif

  三阶贝塞尔曲线由P0P_0P1P_1P2P_2P3P_3四个点来确定,其中P0P_0为起点,P3P_3为终点,P1P_1P2P_2为控制点,曲线方程为:

Pt=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3t(0,1)P_t= \left(1-t\right)^3P_0+3t\left(1-t\right)^2P_1+3t^2\left(1-t\right)P_2+t^3P_3 \quad\quad t\in\left(0,1\right)

三阶绘图.png

  1. 已知三个点P0P_0P1P_1P2P_2P3P_3,连接线段P0P1P_0P_1P1P2P_1P_2以及P2P3P_2P_3
  2. PaP_aP0P1P_0P_1上,随时间t从P0P_0运动到P1P_1,使得P0Pa/P0P1=tP_0P_a/P_0P_1=t
  3. PbP_bP1P2P_1P_2上,随时间t从P1P_1运动到P2P_2,使得P1Pb/P1P2=tP_1P_b/P_1P_2=t
  4. PcP_cP2P3P_2P_3上,随时间t从P2P_2运动到P3P_3,使得P2Pc/P2P3=tP_2P_c/P_2P_3=t
  5. 连接线段PaPbP_aP_bPbPcP_bP_c
  6. PdP_dPaPbP_aP_b上,随时间t从PaP_a运动到PbP_b,使得PaPd/PaPb=tP_aP_d/P_aP_b=t
  7. PeP_ePbPcP_bP_c上,随时间t从PbP_b运动到PcP_c,使得PbPe/PbPc=tP_bP_e/P_bP_c=t
  8. PtP_tPdPeP_dP_e上,随时间t从PdP_d运动到PeP_e,使得PdPt/PdPe=tP_dP_t/P_dP_e=t
  9. tt从0变化到1的过程中,所有PtP_t点就组成了三阶贝塞尔曲线。

  由之前的公式可得:

Pa=P0+(P1P0)t=(1t)P0+P1tPb=P1+(P2P1)t=(1t)P1+P2tPc=P2+(P3P2)t=(1t)P2+P3tPd=Pa+(PbPa)t=(1t)Pa+PbtPe=Pb+(PcPb)t=(1t)Pb+PctPt=Pd+(PePd)t=(1t)Pd+Pet\begin{aligned} P_a&=P_0+\left(P_1-P_0\right)t=\left(1-t\right)P_0+P_1t \\ P_b&=P_1+\left(P_2-P_1\right)t=\left(1-t\right)P_1+P_2t \\ P_c&=P_2+\left(P_3-P_2\right)t=\left(1-t\right)P_2+P_3t \\ P_d&=P_a+\left(P_b-P_a\right)t=\left(1-t\right)P_a+P_bt \\ P_e&=P_b+\left(P_c-P_b\right)t=\left(1-t\right)P_b+P_ct \\ P_t&=P_d+\left(P_e-P_d\right)t=\left(1-t\right)P_d+P_et \\ \end{aligned}

  将上述公式带入PtP_t可得

Pt=(1t)Pd+Pet=(1t)[(1t)Pa+Pbt]+t[(1t)Pb+Pct]=(1t)2Pa+2t(1t)Pb+t2Pc=(1t)2[(1t)P0+P1t]+2t(1t)[(1t)P1+P2t]+t2[(1t)P2+P3t]=(1t)3P0+t(1t)2P1+2t(1t)2P1+2t2(1t)P2+t2(1t)P2+t3P3=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3t(0,1)\begin{aligned} P_t&= \left(1-t\right)P_d+P_et \\ &=\left(1-t\right)\left[\left(1-t\right)P_a+P_bt \right]+t\left[ \left(1-t\right)P_b+P_ct \right]\\ &=\left(1-t\right)^2P_a+2t\left(1-t\right)P_b+t^2P_c\\ &=\left(1-t\right)^2\left[ \left(1-t\right)P_0+P_1t \right]+2t\left(1-t\right)\left[ \left(1-t\right)P_1+P_2t \right]+t^2\left[ \left(1-t\right)P_2+P_3t \right]\\ &=\left(1-t\right)^3P_0+t\left(1-t\right)^2P_1+2t\left(1-t\right)^2P_1+2t^2\left(1-t\right)P_2+t^2\left(1-t\right)P_2+t^3P_3\\ &=\left(1-t\right)^3P_0+3t\left(1-t\right)^2P_1+3t^2\left(1-t\right)P_2+t^3P_3 \quad\quad t\in\left(0,1\right) \end{aligned}

递归性质

  仔细观察上述的构造过程,经过第5步变化之后,三阶贝塞尔曲线的求解变成了对以PaP_a为起点,PcP_c为终点,PbP_b为控制点的二阶贝塞尔曲线方程的求解。

  首先,有四个控制点;
四个控制点形成三个线段,每个线段上有一个点在运动,于是得到三个点;
三个控制点形成两个线段,每个线段上有一个点在运动,于是得到两个点;
两个点形成一个线段,这个线段上有一个点在运动,于是得到一个点;
最后一个点的运动轨迹便构成了贝塞尔曲线!

  我们发现,实际上是每轮都是 n 个点,形成 n-1 条线段,每个线段上有一个点在运动,那么就只关注这 n-1 个点,循环往复。最终只剩一个点时,它的轨迹便是结果。

这就是我们前面提到的贝塞尔曲线的递归性质。

  通过对上面贝塞尔曲线的定义及推导过程的阅读,我们对贝塞尔曲线是什么以及如何获得相应阶数的曲线公式有了初步的认识,那么在日常开发中我们如何定义并使用贝塞尔曲线呢?UIBezierPathUIKit中的一个关于图形绘制的类,是对CGPathRef的封装,可以方便的让我们画出 矩形、椭圆或者直线和曲线的组合形状。下面我们简单介绍一下UIBezierPath的常用api。

UIBezierPath

 UIBezierPath用于定义一个直线和曲线组合而成的路径,并且可以在自定义视图中渲染该路径。

常用api

一、创建UIBezierPath.

//创建并返回一个新的bezierPath对象
+ (instancetype)bezierPath;

//通过一个矩形rect创建并返回一个矩形bezierPath对象
+ (instancetype)bezierPathWithRect:(CGRect)rect;

//通过一个矩形rect创建并返回一个与该矩形内接的椭圆bezierPath对象
+ (instancetype)bezierPathWithOvalInRect:(CGRect)rect;

//创建一个圆角矩形路径,以CGRect为大小,以cornerRadius为圆角半径
+ (instancetype)bezierPathWithRoundedRect:(CGRect)rect cornerRadius:(CGFloat)cornerRadius;

//创建一个圆角矩形路径,以CGRect为大小,以corners选择圆角位置,以cornerRadii为圆角半径
+ (instancetype)bezierPathWithRoundedRect:(CGRect)rect byRoundingCorners:(UIRectCorner)corners cornerRadii:(CGSize)cornerRadii;

//创建一个圆弧路径,以center为圆弧圆心,radius为圆弧半径,startAngle为圆弧起始角度,endAngle为圆弧终止角度,clockwise为路径绘制方向,YES:顺时针绘制
+ (instancetype)bezierPathWithArcCenter:(CGPoint)center radius:(CGFloat)radius startAngle:(CGFloat)startAngle endAngle:(CGFloat)endAngle clockwise:(BOOL)clockwise;

//通过一个已存在的路径,返回一个该路径的反转路径
- (UIBezierPath *)bezierPathByReversingPath;
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二、绘制路径

//移动path的currentPoint到指定的位置
- (void)moveToPoint:(CGPoint)point;

//在路径中添加一条直线,从currentPoint开始到指定位置
- (void)addLineToPoint:(CGPoint)point;

//在路径中添加一条圆弧,以center为圆弧圆心,radius为圆弧半径,startAngle为圆弧起始角度,endAngle为圆弧终止角度,clockwise为路径绘制方向,YES:顺时针绘制
- (void)addArcWithCenter:(CGPoint)center radius:(CGFloat)radius startAngle:(CGFloat)startAngle endAngle:(CGFloat)endAngle clockwise:(BOOL)clockwise;
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//在路径中添加一条二阶贝塞尔曲线,以endPoint为终点,controlPoint为控制点
- (void)addQuadCurveToPoint:(CGPoint)endPoint controlPoint:(CGPoint)controlPoint;
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secondOrder.jpeg

//在路径中添加一条三阶贝塞尔曲线,以endPoint为终点,controlPoint1和controlPoint2为两个控制点,
- (void)addCurveToPoint:(CGPoint)endPoint controlPoint1:(CGPoint)controlPoint1 controlPoint2:(CGPoint)controlPoint2;
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thirdOrder.jpeg

//闭合路径,从currentPoint到路径起点添加一条直线
- (void)closePath;

//移除路径上所有点,即删除所有子路径
- (void)removeAllPoints;

//在路径中添加另一条路径
- (void)appendPath:(UIBezierPath *)bezierPath;

//获取路径的不可变CGPathRef对象
@property(nonatomic) CGPathRef CGPath;

//路径绘制过程中的当前点,即下次绘制的起点,如果路径为空,该属性值为CGPointZero
@property(nonatomic, readonly) CGPoint currentPoint;
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三、绘图属性

//路径线宽,默认值1.0
@property(nonatomic) CGFloat lineWidth;
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//路径曲线起点和终点样式,只对开放路径起作用,对闭合路径无效,默认值为 kCGLineCapButt
@property(nonatomic) CGLineCap lineCapStyle;

typedef CF_ENUM(int32_t, CGLineCap) {
    kCGLineCapButt,//方形末端,结束位置在精确位置
    kCGLineCapRound,//圆形末端,结束位置超过精确位置半个线宽
    kCGLineCapSquare//方形末端,结束位置超过精确位置半个线宽
};
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lineCap.jpeg

//路径线段的连接点样式,默认值为 kCGLineJoinMiter
@property(nonatomic) CGLineJoin lineJoinStyle;

typedef CF_ENUM(int32_t, CGLineJoin) {
    kCGLineJoinMiter,//尖角
    kCGLineJoinRound,//圆角
    kCGLineJoinBevel//切角
};
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lineJoin.jpeg

//使用指定的仿射变换矩阵变换路径上的所有点
- (void)applyTransform:(CGAffineTransform)transform;

//path调用addClip之后,修改当前图形上下文的可见绘制区域,接下来的绘制超出path区域的,都会不可见。如果你想在接下来的绘制中移除裁减区域,可以在裁减之前调用CGContextSaveGState保存当前图形上下文状态,当不需要裁减区域时,可以通过CGContextRestoreGState恢复
- (void)addClip;

//填充路径
- (void)fill;

//绘制路径
- (void)stroke;
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定义了path之后如何绘制到屏幕上?

  1. 在UIView的- (void)drawRect:(CGRect)rect方法里面绘制图形
  2. 使用CAShapeLayer

CAShapeLayerdrawRect比较:

  • CAShapeLayer:属于CoreAnimation框架,通过GPU来渲染图形,节省性能,高效使用内存。
  • drawRect:属于Core Graphics框架,占用大量CPU,耗费性能。

CAShapeLayer

  CAShapeLayer继承自CALayerCAShapeLayer属于CoreAnimation框架,通过GPU来渲染图形,节省性能。动画渲染直接提交给手机GPU,高效使用内存。 每个CAShapeLayer对象都代表着将要被渲染到屏幕上的一个任意的形状(shape)。具体的形状由其path(类型为CGPathRef)属性指定。 普通的CALayer是矩形,需要frame属性。CAShapeLayer初始化时也需要指定frame值,但它本身没有形状,它的形状来源于其属性path 。CAShapeLayer中shape需要形状才能生效。UIBezierPath可以为其提供绘制形状的path。

常用api

//图层渲染的路径 Animatable,对path进行动画时,要注意保证前后两个path拥有相同数量的控制点
@property(nullable) CGPathRef path;

//图层路径颜色
@property(nullable) CGColorRef strokeColor;

//路径渲染的起止相对位置,取值在[0,1]之间,可动画
@property CGFloat strokeStart;
@property CGFloat strokeEnd;

//开始绘制位置在虚线长度中的位置
@property CGFloat lineDashPhase;

//虚线的规格,数组定义了实线和空格的宽度
@property(nullable, copy) NSArray<NSNumber *> *lineDashPattern;

//线宽,意义同UIBezierPath
@property CGFloat lineWidth;

//起点和终点样式,意义同UIBezierPath
@property(copy) CAShapeLayerLineCap lineCap;

//连接点样式,意义同UIBezierPath
@property(copy) CAShapeLayerLineJoin lineJoin;
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举个例子

wavegif2.gif

示意图2.png   下面我们将用二阶和三阶贝塞尔曲线实现上面的波浪动图效果,如上示意图所示,将波浪曲线进行分解,通过绘制两个相同的完整的“正弦波”,然后不停的将曲线向左侧移动和复位,来达到波浪起伏的效果。

二阶实现

// p0p1,p1p2,p2p3,p3p4为4条二阶曲线,c1,c2,c3,c4为其相应二阶贝塞尔曲线的控制点

- (void)p_creatWavePath {
    CGFloat waterHeight = 300.f;
    CGFloat waveWidth = self.view.frame.size.width / 2.f;
    CGFloat waveControlHeight = 50.f;
    
    UIBezierPath *wavePath = [UIBezierPath bezierPath];
    [wavePath moveToPoint:CGPointMake(0 - self.waveOffsetX, 0)];
    [wavePath addLineToPoint:CGPointMake(0 - self.waveOffsetX, waterHeight)];
    
    // 计算起点和控制点
    CGFloat waveHeight = 20.f;
    CGPoint p0 = CGPointMake(0 - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint p1 = CGPointMake(waveWidth - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint p2 = CGPointMake(waveWidth * 2 - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint p3 = CGPointMake(waveWidth * 3 - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint p4 = CGPointMake(waveWidth * 4 - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint c1 = CGPointMake(waveWidth * 1 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight - waveControlHeight);
    CGPoint c2 = CGPointMake(waveWidth * 3 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight + waveControlHeight);
    CGPoint c3 = CGPointMake(waveWidth * 5 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight - waveControlHeight);
    CGPoint c4 = CGPointMake(waveWidth * 7 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight + waveControlHeight);
    [wavePath addQuadCurveToPoint:p1 controlPoint:c1];
    [wavePath addQuadCurveToPoint:p2 controlPoint:c2];
    [wavePath addQuadCurveToPoint:p3 controlPoint:c3];
    [wavePath addQuadCurveToPoint:p4 controlPoint:c4];
    
    [wavePath addLineToPoint:CGPointMake(waveWidth * 4 - self.waveOffsetX, 0)];
    [wavePath closePath];
    self.waveLayer.path = wavePath.CGPath;
    // 累加曲线的向左的偏移量
    self.waveOffsetX = (self.waveOffsetX + self.waveStepX) % (NSInteger)(self.view.frame.size.width);
}

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三阶实现

// p0p1p2,p2p3p4为两条三阶阶曲线,c1和c2,c3和c4为其相应三阶贝塞尔曲线的控制点

- (void)p_creatWavePath {
    CGFloat waterHeight = 300.f;
    CGFloat waveWidth = self.view.frame.size.width / 2.f;
    CGFloat waveControlHeight = 50.f;
    
    UIBezierPath *wavePath = [UIBezierPath bezierPath];
    [wavePath moveToPoint:CGPointMake(0 - self.waveOffsetX, 0)];
    [wavePath addLineToPoint:CGPointMake(0 - self.waveOffsetX, waterHeight)];
    
    // 计算起点和控制点
    CGPoint p2 = CGPointMake(waveWidth * 2 - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint p4 = CGPointMake(waveWidth * 4 - self.waveOffsetX, waterHeight);
    CGPoint c1 = CGPointMake(waveWidth  * 1 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight - waveControlHeight);
    CGPoint c2 = CGPointMake(waveWidth * 3 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight + waveControlHeight);
    CGPoint c3 = CGPointMake(waveWidth * 5 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight - waveControlHeight);
    CGPoint c4 = CGPointMake(waveWidth * 7 / 2 - self.waveOffsetX, waterHeight + waveControlHeight);
    [wavePath addCurveToPoint:p2 controlPoint1:c1 controlPoint2:c2];
    [wavePath addCurveToPoint:p4 controlPoint1:c3 controlPoint2:c4];
    
    [wavePath addLineToPoint:CGPointMake(waveWidth * 4 - self.waveOffsetX, 0)];
    [wavePath closePath];
    self.waveLayer.path = wavePath.CGPath;
    self.waveOffsetX = (self.waveOffsetX + self.waveStepX) % (NSInteger)(self.view.frame.size.width);
}
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反推控制点

  由之前的介绍可知,要绘制一条贝塞尔曲线,除了起点和终点外,还必须要知道相应数量的控制点。但在日常开发中我们并不是总能知道控制点,取而代之的是一些曲线经过的点,这个时候要怎么办呢?下面以三阶曲线为例,推导控制点的计算过程

Pt=(1t)3P0+3t(1t)2P1+3t2(1t)P2+t3P3t(0,1)P_t= \left(1-t\right)^3P_0+3t\left(1-t\right)^2P_1+3t^2\left(1-t\right)P_2+t^3P_3 \quad\quad t\in\left(0,1\right)

  移动方程式可得:

3t(1t)2P1+3t2(1t)P2=Pt(1t)3P0t3P33t\left(1-t\right)^2P_1+3t^2\left(1-t\right)P_2 = P_t - \left(1-t\right)^3P_0 - t^3P_3 \quad\quad

  假设已知三阶贝塞尔曲线的起点P0P_0,终点P3P_3,t=1/4时曲线上的点PaP_a,t=3/4时曲线上的点PbP_b
将t=1/4时的点PaP_a带入公式可得:

27/64P1+9/64P2=Pa27/64P01/64P327P1+9P2=64Pa27P0P3\begin{aligned} 27/64*P_1 + 9/64*P_2 &= P_a - 27/64*P_0 - 1/64*P_3 \\ 27P_1+9P_2 &= 64P_a-27P_0-P_3 \\ \end{aligned}

  设Pc=64Pa27P0P3P_c=64P_a-27P_0-P_3,由于PaP_aP0P_0P3P_3已知,PcP_c也可以通过计算得出;即

27P1+9P2=Pc(5)27P_1+9P_2=P_c \tag {5}

  同理将t=3/4时的点PbP_b带入公式可得:

9/64P1+27/64P2=Pb1/64P027/64P39P1+27P2=64PbP027P3\begin{aligned} 9/64*P_1 + 27/64*P_2 &= P_b - 1/64*P_0 - 27/64*P_3 \\ 9P_1+27P_2 &= 64P_b-P_0-27P_3 \\ \end{aligned}

  设Pd=64PbP027P3P_d=64P_b-P_0-27P_3, 由于PbP_bP0P_0P3P_3已知,PdP_d也可以通过计算得出;即

9P1+27P2=Pd(6)9P_1+27P_2 = P_d \tag {6}

  将公式(5)和公式(6)代入化简可得:

P1=(3PaPb)/72P2=(3PbPa)/72P_1=\left(3P_a-P_b\right)/72 \\ P_2=\left(3P_b-P_a\right)/72

  下面是上述例子中控制点求解的函数实现

// 三阶曲线求控制点
// p0:起点,p3:终点,pa:t=t1时曲线上的点,pb:t=t2时曲线上的点
- (NSArray<NSValue *> *)p_calculateControlPointsWithPoint0:(CGPoint)p0 pointA:(CGPoint)pa t1:(CGFloat)t1 pointB:(CGPoint)pb t2:(CGFloat)t2 point3:(CGPoint)p3 {
    // ax + by = c
    // dx + ey = f
    // x = (b * f - c * e) / (b * d - a * e)
    // y = (c * d - a * f) / (b * d - a * e)
    
    CGFloat fa = 3 * t1 * pow((1 - t1), 2);
    CGFloat fb = 3 * (1 - t1) * pow(t1, 2);
    CGFloat fd = 3 * t2 * pow((1 - t2), 2);
    CGFloat fe = 3 * (1 - t2) * pow(t2, 2);

    CGFloat fcx = pa.x - pow((1 - t1), 3) * p0.x - pow(t1, 3) * p3.x;
    CGFloat fcy = pa.y - pow((1 - t1), 3) * p0.y - pow(t1, 3) * p3.y;
    CGFloat ffx = pb.x - pow((1 - t2), 3) * p0.x - pow(t2, 3) * p3.x;
    CGFloat ffy = pb.y - pow((1 - t2), 3) * p0.y - pow(t2, 3) * p3.y;
    
    CGPoint p1 = CGPointZero;
    CGPoint p2 = CGPointZero;
    p1.x = (fb * fcx - ffx * fe) / (fb * fd - fa * fe);
    p1.y = (fb * fcy - ffy * fe) / (fb * fd - fa * fe);
    p2.x = (fd * fcx - ffx * fa) / (fb * fd - fa * fe);
    p2.y = (fd * fcy - ffy * fa) / (fb * fd - fa * fe);
    
    return @[[NSValue valueWithCGPoint:p1], [NSValue valueWithCGPoint:p2]];
}
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