一、背包问题简介
1【背包问题】 背包问题(Knapsack problem)是一种组合优化的NP完全问题。 问题描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量weight和价格value，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。 2【0-1背包问题】 对每个物品i 只有 装入/不装入背包 两种情况。 我们有n种物品，物品j的重量为wj，价格为pj。 我们假定所有物品的重量和价格都是非负的。背包所能承受的最大重量为W。 如果限定每种物品只能选择0个或1个，则问题称为0-1背包问题。 令V（i，j）表示前i个物品中能够装入容量为j的背包中的物品价值最大值，则可得到动态规划函数： V(i,0) = V(0,j)=0; //把前i个物品装入容量为0的背包 和 把0个物品装入容量为j的背包，价值均为0 V(i,j) = V(i-1,j) j<wi //如果第i个物品的重量大于背包容量wi>j，则装入前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价值相同，即物品i不装入背包 V(i,j) = max{ V(i-1,j)，V(i-1,j-wi)+vi } j>wi // 1.如果把第i个物品装入背包，则背包中物品的价值=把前i-1个物品装入容量为j-wi背包中的价值加上第i个物品的价值vi； 2. 如果第i个物品没有装入背包，则背包中价值=前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。 取二者中价值较大者。 step 1：只装入前1个物品，确定各种情况下的背包能够得到的最大价值； step 2：只装人前2个物品，确定各种情况下的背包能够得到的最大价值；. step n：... 最后V(n,C)便是容量为C的背包中装入n个物品时取得的最大价值。 为了得到V(n,C) 需想前推到V(n-1,C)。如果V(n,C)>V(n-1,C),则第n个物品装入背包，前n-1个物品装入容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C的背包中。 直到确定第一个物品是否被装入背包中。 得到： 当 V(i,j)= V(i-1,j)， xi = 0； 当 V(i,j) > V(i-1,j)， xi = 1，j = j-wi；
二、离散粒子群算法简介
1 什么是离散粒子群算法？ 普通粒子群算法（Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO）的粒子初始位置、更新速度都是连续函数，与之对应，位置和速度更新均为离散值的算法是离散PSO算法（Discrete Particle Swarm Optimization Algorithm， DPSO）； 一般就是在跟新粒子位置后，对粒子进行离散点处理； 比如：你的粒子的离散点是0到9的整数。那么对每个粒子更新位置后，比如是在（0,1）范围内的随机数。那么就（0，0.1）范围令其值为0；（0.1,0.2）范围令其值为1；............（0.9.1）范围令其值为9。当然初始位置值也需要这样处理。参考
2 什么是离散二进制粒子群算法？ 离散二进制粒子群算法（Discrete Binary Particle Swarm Optimization Algorithm， BPSO）最初由J.Kennedy和R.C.Eberhart在1997年设计; PSO主要优化连续实值问题，BPSO主要优化离散空间约束问题； BPSO是在离散粒子群算法基础上，约定位置向量、速度向量均由0、1值构成； BPSO有很强全局搜索能力，但不能收敛于全局最优值，且随着算法迭代搜索随机性越来越强，缺乏后期的局部搜索能力；
3 离散二进制粒子群算法步骤
4 实验步骤
参考：离散二进制粒子群算法分析
第一步：确定测试的基准函数；
第二步：测试某个粒子的平均速度迭代变化，某个粒子取1的平均概率迭代变化；某个粒子改变概率迭代变化；某个粒子到最优粒子距离的迭代变化；
第三步：提出改进的粒子群算法，改进点为概率函数；按照第二步进行实验；
第四步：提出改进的基于遗传算法的二进制PSO算法；进行显著性分析，测试最小平均适应度值和标准方差；
三、部分源代码
%%%%%%%%%%离散粒子群算法解决0-1背包问题%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%初始化%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all; %清除所有变量
close all; %清图
clc; %清屏
N=100; %群体粒子个数
D=10; %粒子维数
T=200; %最大迭代次数
c1=1.5; %学习因子1
c2=1.5; %学习因子2
Wmax=0.8; %惯性权重最大值
Wmin=0.4; %惯性权重最小值
Vmax=10; %速度最大值
Vmin=-10; %速度最小值
V = 300; %背包容量
C = [95,75,23,73,50,22,6,57,89,98]; %物品体积
W = [89,59,19,43,100,72,44,16,7,64]; %物品价值
afa = 2; %惩罚函数系数
%%%%%%%%%初始化种群个体（限定位置和速度）%%%%%%%%%%
x=rand(N,D); %随机获得二进制编码的初始种群
v=rand(N,D) * (Vmax-Vmin)+Vmin;
%%%%%%%%%%%初始化个体最优位置和最优值%%%%%%%%%%%%
p=x;
pbest=ones(N,1);
for i=1:N
pbest(i)= func4(x(i,:),C,W,V,afa);
end
%%%%%%%%%%%%初始化全局最优位置和最优值%%%%%%%%%%%
g=ones(1,D);
gbest=eps;
for i=1:N
if(pbest(i)>gbest)
g=p(i,:);
gbest=pbest(i);
end
end
gb=ones(1,T);
%%%%%%%按照公式依次迭代直到满足精度或者迭代次数%%%%%%%
for i=1:T
for j=1:N
%%%%%%更新个体最优位置和最优值%%%%%%%%%%%%%
if (func4(x(j,:),C,W,V,afa)>pbest(j))
p(j,:)=x(j,:);
pbest(j)=func4(x(j,:),C,W,V,afa);
end
%%%%%%%%%%更新全局最优位置和最优值%%%%%%%%%
if(pbest(j)>gbest)
g=p(j,:);
gbest=pbest(j);
end
%%%%%%%%%%计算动态惯性权重值%%%%%%%%%%%%%
for ii=1:D
if (v(j,ii)>Vmax) | (v(j,ii)< Vmin)
v(j,ii)=rand * (Vmax-Vmin)+Vmin;
end
end
vx(j,:)=1./(1+exp(-v(j,:)));
for jj=1:D
if vx(j,jj)>rand
x(j,jj)=1;
else
x(j,jj)=0;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%记录历代全局最优值%%%%%%%%%%%%
g %最优个体
figure
plot(gb)
xlabel('迭代次数');
ylabel('适应度值');
title('适应度进化曲线')
四、运行结果
五、matlab版本及参考文献
1 matlab版本 2014a
2 参考文献 [1] 包子阳,余继周,杨杉.智能优化算法及其MATLAB实例（第2版）[M].电子工业出版社，2016. [2]张岩,吴水根.MATLAB优化算法源代码[M].清华大学出版社，2017.
