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leetcode-416-等差数列划分II-子序列

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[题目描述]

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。

提示:

• 1 <= nums.length <= 1000
• $-2^{31} <= nums[i] <= 2^{31} - 1$

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• 数组
• 动态规划 👍 157 👎 0

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[思路介绍]

思路一：暴力法

• 我幻想了一种解法，三个指针，求出所有等差子序列
• 然后去重
• 去重失败
• 哭了

思路二：序列动态规划

• 按照三叶大佬的思路来看
• 我们可以先简单的使用 一维方程f[i] 来表示使用 nums[i] 为等差子序列终点的数量
• 然后观察是否满足dp的严谨性，如果不严谨，则增加其他维度
• 验证严谨性：
  • f[i]按照当前状态来定义
  • dp移动的时候可以很容易的得出等差子序列的公差为nums[i]-nums[j]
  • 可以发现这个时候公差是固定的值
  • 而本题要求的是所有等差子序列
  • 而不是固定公差的等差子序列
• 所以增加维度f[i][j]
• 表示以j为公差，nums[i] 为结尾的等差子序列的数量
• 求f[i][j]的移动方程
• 对于所有0->i区间内节点j
• 公差d = nums[i] - nums[j]
• 我们可以想到f[i][d] = $\sum_{j=0}^{i-1}f[j][d] + 1$
• 可以表示为 j 从0开始到i-1结束
• 所有与j为等差子数列，且公差为d的数量的和 再加1（加上当前nums[i]）
• 感谢benhao大佬举的例子让我豁然开朗
  • [2, 4, 6, 8]，到6这里，公差为2的序列有俩
  • [2,4,6]和[4,6]
  • 那么到8这里
  • 就有[2,4,6,8],[4,6,8]和[6,8]
  • 6可以很很多组2，4构成序列
  • 但是多的只有[6,8]
• 从上述例子也可以看出是没有考虑子数组长度小于3的情况
• 长度为 2 的等差子序列，由于没有第三个数的差值限制
• 因此任意的数对 (j, i) 都是一个合法的长度为 2 的等差子序列。
• 而求长度为 n 的数组的所有数对，其实就是求 首项为 0，末项为 n - 1，公差为 1，长度为 n 的等差数列之和，
• 直接使用等差数列求和公式求解即可。

public int numberOfArithmeticSlices(int[] nums) {
            List<Map<Long, Integer>> list = new ArrayList<>();
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                Map<Long, Integer> map = new HashMap<>();
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    long dis = nums[i]*1L- nums [j];
                    Map<Long, Integer> prev = list.get(j);
                    int cnt = map.getOrDefault(dis,0);
                    cnt += prev.getOrDefault(dis,0);
                    cnt++;
                    map.put(dis,cnt);
                }
                list.add(map);
            }
            int ans = 0;
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                Map<Long, Integer> cur = list.get(i);
                for (Long key : cur.keySet()) {
                    ans += cur.get(key);
                }
            }
            int a1 = 0, an = nums.length - 1;
            int cnt = (a1 + an) * nums.length / 2;
            return ans - cnt;

        }

• 时间复杂度O($n^2$)
• 空间复杂度O($n^2$)