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题目描述
这是 LeetCode 上的 313. 超级丑数 ,难度为 中等。
Tag : 「优先队列」、「多路归并」
超级丑数 是一个正整数,并满足其所有质因数都出现在质数数组 primes 中。
给你一个整数 n 和一个整数数组 primes ,返回第 n 个 超级丑数 。
题目数据保证第 n 个 超级丑数 在 32-bit 带符号整数范围内。
示例 1:
输入:n = 12, primes = [2,7,13,19]
输出:32
解释:给定长度为 4 的质数数组 primes = [2,7,13,19],前 12 个超级丑数序列为:[1,2,4,7,8,13,14,16,19,26,28,32] 。
示例 2:
输入:n = 1, primes = [2,3,5]
输出:1
解释:1 不含质因数,因此它的所有质因数都在质数数组 primes = [2,3,5] 中。
提示:
- 1 <= n <=
- 1 <= primes.length <= 100
- 2 <= primes[i] <= 1000
- 题目数据 保证 primes[i] 是一个质数
- primes 中的所有值都 互不相同 ,且按 递增顺序 排列
基本分析
类似的题目在之前的每日一题也出现过。
本题做法与 264. 丑数 II 类似,相关题解在 这里。
回到本题,根据丑数的定义,我们有如下结论:
- 是最小的丑数。
- 对于任意一个丑数 ,其与任意给定的质因数 相乘,结果仍为丑数。
优先队列(堆)
有了基本的分析思路,一个简单的解法是使用优先队列:
- 起始先将最小丑数 放入队列
- 每次从队列取出最小值 ,然后将 所对应的丑数 进行入队。
- 对步骤 循环多次,第 次出队的值即是答案。
为了防止同一丑数多次进队,我们需要使用数据结构 来记录入过队列的丑数。
代码:
class Solution {
public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
Set<Long> set = new HashSet<>();
PriorityQueue<Long> q = new PriorityQueue<>();
q.add(1L);
set.add(1L);
while (n-- > 0) {
long x = q.poll();
if (n == 0) return (int)x;
for (int k : primes) {
if (!set.contains(k * x)) {
set.add(k * x);
q.add(k * x);
}
}
}
return -1; // never
}
}
- 时间复杂度:令 长度为 ,需要从优先队列(堆)中弹出 个元素,每次弹出最多需要放入 个元素,堆中最多有 个元素。复杂度为
- 空间复杂度:
多路归并
从解法一中不难发现,我们「往后产生的丑数」都是基于「已有丑数」而来(使用「已有丑数」乘上「给定质因数」)。
因此,如果我们所有丑数的有序序列为 的话,序列中的每一个数都必然能够被以下三个序列(中的至少一个)覆盖(这里假设 ):
- 由丑数 * 所得的有序序列:、、、、、、 ...
- 由丑数 * 所得的有序序列:、、、、、、 ...
- 由丑数 * 所得的有序序列:、、、、、、 ...
我们令这些有序序列为 ,最终的丑数序列为 。
如果 的长度为 的话,我们可以使用 个指针来指向这 个有序序列 的当前下标。
显然,我们需要每次取 个指针中值最小的一个,然后让指针后移(即将当前序列的下一个值放入堆中),不断重复这个过程,直到我们找到第 个丑数。
当然,实现上,我们并不需要构造出这 个有序序列。
我们可以构造一个存储三元组的小根堆,三元组信息为 :
- :为当前列表指针指向具体值;
- :代表这是由 构造出来的有序序列;
- :代表丑数下标,存在关系 。
起始时,我们将所有的 加入优先队列(堆)中,每次从堆中取出最小元素,那么下一个该放入的元素为 。
另外,由于我们每个 的指针移动和 的构造,都是单调递增,因此我们可以通过与当前最后一位构造的 进行比较来实现去重,而无须引用常数较大的 Set
结构。
代码:
class Solution {
public int nthSuperUglyNumber(int n, int[] primes) {
int m = primes.length;
PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[0]-b[0]);
for (int i = 0; i < m; i++) {
q.add(new int[]{primes[i], i, 0});
}
int[] ans = new int[n];
ans[0] = 1;
for (int j = 1; j < n; ) {
int[] poll = q.poll();
int val = poll[0], i = poll[1], idx = poll[2];
if (val != ans[j - 1]) ans[j++] = val;
q.add(new int[]{ans[idx + 1] * primes[i], i, idx + 1});
}
return ans[n - 1];
}
}
- 时间复杂度:需要构造长度为 的答案,每次构造需要往堆中取出和放入元素,堆中有 个元素,起始时,需要对 进行遍历,复杂度为 。整体复杂度为
- 空间复杂度:存储 个答案,堆中有 个元素,复杂度为
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.313
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:github.com/SharingSour…
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