优先队列和堆

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什么是优先队列?

听这个名字就能知道,优先队列也是一种队列,只不过不同的是,优先队列的出队顺序是按照优先级来的;在有些情况下,可能需要找到元素集合中的最小或者最大元素,可以利用优先队列ADT(Abstract Data Type)来完成操作,优先队列ADT是一种数据结构,它支持插入和删除最小值操作(返回并删除最小元素)或删除最大值操作(返回并删除最大元素);

这些操作等价于队列的enQueuedeQueue操作,区别在于,对于优先队列,元素进入队列的顺序可能与其被操作的顺序不同,作业调度是优先队列的一个应用实例,它根据优先级的高低而不是先到先服务的方式来进行调度;

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如果最小键值元素拥有最高的优先级,那么这种优先队列叫作升序优先队列(即总是先删除最小的元素),类似的,如果最大键值元素拥有最高的优先级,那么这种优先队列叫作降序优先队列(即总是先删除最大的元素);由于这两种类型时对称的,所以只需要关注其中一种,如升序优先队列;

优先队列的操作

下面操作组成了优先队列的一个ADT;

1.优先队列的主要操作 优先队列是元素的容器,每个元素有一个相关的键值;

  • insert(key, data):插入键值为key的数据到优先队列中,元素以其key进行排序;
  • deleteMin/deleteMax:删除并返回最小/最大键值的元素;
  • getMinimum/getMaximum:返回最小/最大剑指的元素,但不删除它;

2.优先队列的辅助操作

  • 第k最小/第k最大:返回优先队列中键值为第k个最小/最大的元素;
  • 大小(size):返回优先队列中的元素个数;
  • 堆排序(Heap Sort):基于键值的优先级将优先队列中的元素进行排序;

优先队列的应用

  • 数据压缩:赫夫曼编码算法;
  • 最短路径算法:Dijkstra算法;
  • 最小生成树算法:Prim算法;
  • 事件驱动仿真:顾客排队算法;
  • 选择问题:查找第k个最小元素;
  • 等等等等....

优先队列的实现比较

堆的实现并不局限于某一种特定的方式,可以使用链式树形结构(节点有左右指针)实现,也可以使用数组实现,因为完全二叉树的特性是一层一层按顺序排列的,完全可以紧凑地放在数组中。而且基于数组实现堆是一种比较巧妙且高效的方式,也是最常用的方式。

实现插入删除寻找最小值
无序数组1nn
无序链表1nn
有序数组n11
有序链表n11
二叉搜索树logn(平均)logn(平均)logn(平均)
平衡二叉搜索树lognlognlogn
二叉堆lognlogn1

堆和二叉堆

什么是堆?

堆是一颗具有特定性质的二叉树,堆的基本要求就是堆中所有结点的值必须大于或等于(或小于或等于)其孩子结点的值,这也称为堆的性质;堆还有另一个性质,就是当 h > 0 时,所有叶子结点都处于第 h 或 h - 1 层(其中 h 为树的高度,完全二叉树),也就是说,堆应该是一颗完全二叉树;

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在下面的例子中,左边的树为堆(每个元素都大于其孩子结点的值),而右边的树不是堆(因为5大于其孩子结点2)

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二叉堆

在二叉堆中,每个结点最多有两个孩子结点,在实际应用中,二叉堆已经足够满足需求,因此接下来主要讨论二叉最小堆和二叉最大堆;

**堆的表示:**在描述堆的操作前,首先来看堆是怎样表示的,一种可能的方法就是使用数组,因为堆在形式上是一颗完全二叉树,用数组来存储它不会浪费任何空间,例如下图:

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用数组来表示堆不仅不会浪费空间还具有一定的优势:

  • 每个结点的左孩子为下标i的2倍:left child(i) = i * 2;每个结点的右孩子为下标i的2倍加1:right child(i) = i * 2 + 1
  • 每个结点的父亲结点为下标的二分之一:parent(i) = i / 2,注意这里是整数除,2和3除以2都为1,大家可以验证一下;
  • **注意:**这里是把下标为0的地方空出来了的,主要是为了方便理解,如果0不空出来只需要在计算的时候把i值往右偏移一个位置就行了(也就是加1,大家可以试试,下面的演示也采取这样的方式);

二叉堆的相关操作

堆的基本结构

public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
    private Array<E> data;
    public MaxHeap(int capacity){ data = new Array<>(capacity); }
    public MaxHeap(){ data = new Array<>(); }
    // 返回堆中的元素个数
    public int size(){ return data.getSize(); }
    // 返回一个布尔值, 表示堆中是否为空
    public boolean isEmpty(){ return data.isEmpty(); }
    // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的父亲节点的索引
    private int parent(int index){
        if(index == 0)
            throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent.");
        return (index - 1) / 2;
    }
    // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
    private int leftChild(int index){ return index * 2 + 1; }
    // 返回完全二叉树的数组表示中,一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
    private int rightChild(int index){ return index * 2 + 2; }
}

向堆中添加元素和Sift Up

当插入一个元素到堆中时,它可能不满足堆的性质,在这种情况下,需要调整堆中元素的位置使之重新变成堆,这个过程称为堆化(heapifying);在最大堆中,要堆化一个元素,需要找到它的父亲结点,如果不满足堆的基本性质则交换两个元素的位置,重复该过程直到每个结点都满足堆的性质为止,下面我们来模拟一下这个过程:

下面我们在该堆中插入一个新的元素26:

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我们通过索引(上面的公式)可以很容易地找到新插入元素的父亲结点,然后比较它们的大小,如果新元素更大则交换两个元素的位置,这个操作就相当于把该元素上浮了一下:

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重复该操作直到26到了一个满足堆条件的位置,此时就完成了插入的操作:

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对应的代码如下:

// 向堆中添加元素
public void add(E e){
    data.addLast(e);
    siftUp(data.getSize() - 1);
}

private void siftUp(int k){

    while(k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0 ){
        data.swap(k, parent(k));
        k = parent(k);
    }
}

取出堆中的最大元素和Sift Down

如果理解了上述的过程,那么取出堆中的最大元素(堆顶元素)将变得容易,不过这里运用到一个小技巧,就是用最后一个元素替换掉栈顶元素,然后把最后一个元素删除掉,这样一来元素的总个数也满足条件,然后只需要把栈顶元素依次往下调整就好了,这个操作就叫做Sift Down(下沉):

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用最后元素替换掉栈顶元素,然后删除最后一个元素:

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然后比较其孩子结点的大小:

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如果不满足堆的条件,那么就跟孩子结点中较大的一个交换位置:

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重复该步骤,直到16到达合适的位置:

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完成取出最大元素的操作:

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对应的代码如下:

// 看堆中的最大元素
public E findMax(){
    if(data.getSize() == 0)
        throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");
    return data.get(0);
}

// 取出堆中最大元素
public E extractMax(){

    E ret = findMax();

    data.swap(0, data.getSize() - 1);
    data.removeLast();
    siftDown(0);

    return ret;
}

private void siftDown(int k){

    while(leftChild(k) < data.getSize()){
        int j = leftChild(k); // 在此轮循环中,data[k]和data[j]交换位置
        if( j + 1 < data.getSize() &&
                data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0 )
            j ++;
        // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最大值

        if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )
            break;

        data.swap(k, j);
        k = j;
    }
}

Replace 和 Heapify

Replace这个操作其实就是取出堆中最大的元素之后再新插入一个元素,常规的做法是取出最大元素之后,再利用上面的插入新元素的操作对堆进行Sift Up操作,但是这里有一个小技巧就是直接使用新元素替换掉堆顶元素,之后再进行Sift Down操作,这样就把两次O(logn)的操作变成了一次O(logn):

// 取出堆中的最大元素,并且替换成元素e
public E replace(E e){
    E ret = findMax();
    data.set(0, e);
    siftDown(0);
    return ret;
}

Heapify翻译过来就是堆化的意思,就是将任意数组整理成堆的形状,通常的做法是遍历数组从0开始添加创建一个新的堆,但是这里存在一个小技巧就是把当前数组就看做是一个完全二叉树,然后从最后一个非叶子结点开始进行Sift Down操作就可以了,最后一个非叶子结点也很好找,就是最后一个结点的父亲结点,大家可以验证一下:

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从22这个节点开始,依次开始Sift Down操作:

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重复该过程直到堆顶元素:

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完成堆化操作:

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将n个元素逐个插入到一个空堆中,算法复杂度是O(nlogn),而heapify的过程,算法复杂度为O(n),这是有一个质的飞跃的,下面是代码:

public MaxHeap(E[] arr){
    data = new Array<>(arr);
    for(int i = parent(arr.length - 1) ; i >= 0 ; i --)
        siftDown(i);
}

基于堆的优先队列

首先我们的队列仍然需要继承我们之前将队列时候声明的哪个接口Queue,然后实现这个接口中的方法就可以了,之类简单写一下:

public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {

    private MaxHeap<E> maxHeap;

    public PriorityQueue(){ maxHeap = new MaxHeap<>(); }
    @Override
    public int getSize(){ return maxHeap.size(); }
    @Override
    public boolean isEmpty(){ return maxHeap.isEmpty(); }
    @Override
    public E getFront(){ return maxHeap.findMax(); }
    @Override
    public void enqueue(E e){ maxHeap.add(e); }
    @Override
    public E dequeue(){ return maxHeap.extractMax(); }
}

Java中的PriorityQueue

在Java中也实现了自己的优先队列java.util.PriorityQueue,与我们自己写的不同之处在于,Java中内置的为最小堆,然后就是一些函数名不一样,底层还是维护了一个Object类型的数组,大家可以戳戳看有什么不同,另外如果想要把最小堆变成最大堆可以给PriorityQueue传入自己的比较器,例如:

// 默认为最小堆
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>();

pq.add(5);
pq.add(2);
pq.add(1);
pq.add(10);
pq.add(3);

while (!pq.isEmpty()) {
	System.out.println(pq.poll() + ", ");
}
System.out.println();
System.out.println("————————————————————————");

// 使用Lambda表达式传入自己的比较器转换成最大堆
PriorityQueue<Integer> pq2 = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
pq2.add(5);
pq2.add(2);
pq2.add(1);
pq2.add(10);
pq2.add(3);

while (!pq2.isEmpty()) {
	System.out.println(pq2.poll() + ", ");
}