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【刷穿 LeetCode】一题五解 : 五种最短路算法 & 两种存图方式| 8月更文挑战

题目描述

这是 LeetCode 上的 743. 网络延迟时间 ,难度为 中等

Tag : 「最短路」、「图」、「优先队列(堆)」

有 n 个网络节点,标记为 1 到 n。

给你一个列表 times,表示信号经过 有向 边的传递时间。 times[i] = (ui, vi, wi),其中 ui 是源节点,vi 是目标节点, wi 是一个信号从源节点传递到目标节点的时间。

现在,从某个节点 K 发出一个信号。需要多久才能使所有节点都收到信号?如果不能使所有节点收到信号,返回 -1 。

示例 1:

输入:times = [[2,1,1],[2,3,1],[3,4,1]], n = 4, k = 2

输出:2
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示例 2:

输入:times = [[1,2,1]], n = 2, k = 1

输出:1
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示例 3:

输入:times = [[1,2,1]], n = 2, k = 2

输出:-1
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提示:

  • 1 <= k <= n <= 100
  • 1 <= times.length <= 6000
  • times[i].length == 3
  • 1 <= ui, vi <= n
  • ui != vi
  • 0 <= wi <= 100
  • 所有 (ui, vi) 对都 互不相同(即,不含重复边)

基本分析

为了方便,我们约定 nn 为点数,mm 为边数。

根据题意,首先 nn 的数据范围只有 100100mm 的数据范围为 60006000,使用「邻接表」或「邻接矩阵」来存图都可以。

同时求的是「kk 点出发,所有点都被访问到的最短时间」,将问题转换一下其实就是求「kk 点出发,到其他点 xx 的最短距离的最大值」。

Floyd(邻接矩阵)

根据「基本分析」,我们可以使用复杂度为 O(n3)O(n^3) 的「多源汇最短路」算法 Floyd 算法进行求解,同时使用「邻接矩阵」来进行存图。

此时计算量约为 10610^6,可以过。

跑一遍 Floyd,可以得到「从任意起点出发,到达任意起点的最短距离」。然后从所有 w[k][x]w[k][x] 中取 maxmax 即是「kk 点出发,到其他点 xx 的最短距离的最大值」。

image.png

代码:

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    int[][] w = new int[N][N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k;
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                w[i][j] = w[j][i] = i == j ? 0 : INF;
            }
        }
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            w[u][v] = c;
        }
        floyd();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, w[k][i]);
        }
        return ans >= INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void floyd() {
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                for (int j = 1; j <= n; j++) {
                    w[i][j] = Math.min(w[i][j], w[i][p] + w[p][j]);
                }
            }
        }
    }
}
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  • 时间复杂度:O(n3)O(n^3)
  • 空间复杂度:O(n2)O(n^2)

朴素 Dijkstra(邻接矩阵)

同理,我们可以使用复杂度为 O(n2)O(n^2) 的「单源最短路」算法朴素 Dijkstra 算法进行求解,同时使用「邻接矩阵」来进行存图。

根据题意,kk 点作为源点,跑一遍 Dijkstra 我们可以得到从源点 kk 到其他点 xx 的最短距离,再从所有最短路中取 maxmax 即是「kk 点出发,到其他点 xx 的最短距离的最大值」。

朴素 Dijkstra 复杂度为 O(n2)O(n^2),可以过。

image.png

代码:

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    int[][] w = new int[N][N];
    int[] dist = new int[N];
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k;
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                w[i][j] = w[j][i] = i == j ? 0 : INF;
            }
        }
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            w[u][v] = c;
        }
        dijkstra();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void dijkstra() {
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        dist[k] = 0;
        for (int p = 1; p <= n; p++) {
            int t = -1;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                if (!vis[i] && (t == -1 || dist[i] < dist[t])) t = i;
            }
            vis[t] = true;
            for (int i = 1; i <= n; i++) {
                dist[i] = Math.min(dist[i], dist[t] + w[t][i]);
            }
        }
    }
}
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  • 时间复杂度:O(n2)O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n2)O(n^2)

堆优化 Dijkstra(邻接表)

由于边数据范围不算大,我们还可以使用复杂度为 O(mlogn)O(m\log{n}) 的堆优化 Dijkstra 算法进行求解。

堆优化 Dijkstra 算法与朴素 Dijkstra 都是「单源最短路」算法。

跑一遍堆优化 Dijkstra 算法求最短路,再从所有最短路中取 maxmax 即是「kk 点出发,到其他点 xx 的最短距离的最大值」。

此时算法复杂度为 O(mlogn)O(m\log{n}),可以过。

image.png

代码:

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    int[] dist = new int[N];
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int n, k, idx;
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        Arrays.fill(he, -1);
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        dijkstra();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void dijkstra() {
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        dist[k] = 0;
        PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a,b)->a[1]-b[1]);
        q.add(new int[]{k, 0});
        while (!q.isEmpty()) {
            int[] poll = q.poll();
            int id = poll[0], step = poll[1];
            if (vis[id]) continue;
            vis[id] = true;
            for (int i = he[id]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[id] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[id] + w[i];
                    q.add(new int[]{j, dist[j]});
                }
            }
        }
    }
}
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  • 时间复杂度:O(mlogn+n)O(m\log{n} + n)
  • 空间复杂度:O(m)O(m)

Bellman Ford(邻接表)

虽然题目规定了不存在「负权边」,但我们仍然可以使用可以在「负权图中求最短路」的 Bellman Ford 进行求解,该算法也是「单源最短路」算法,复杂度为 O(nm)O(n * m)

image.png

代码:

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    int[] dist = new int[N];
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, m, k, idx;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        m = ts.length;
        Arrays.fill(he, -1);
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        bf();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void bf() {
        Arrays.fill(dist, INF);
        dist[k] = 0;
        for (int p = 1; p <= m; p++) {
            int[] prev = dist.clone();
            for (int a = 1; a <= n; a++) {
                for (int i = he[a]; i != -1; i = ne[i]) {
                    int b = e[i];
                    dist[b] = Math.min(dist[b], prev[a] + w[i]);
                }
            }
        }
    }
}
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  • 时间复杂度:O(nm)O(n*m)
  • 空间复杂度:O(m)O(m)

SPFA(邻接表)

SPFA 是对 Bellman Ford 的优化实现,可以使用队列进行优化,也可以使用栈进行优化。

通常情况下复杂度为 O(km)O(k*m)kk 一般为 4455,最坏情况下仍为 O(nm)O(n * m),当数据为网格图时,复杂度会从 O(km)O(k*m) 退化为 O(nm)O(n*m)

image.png

代码:

class Solution {
    int N = 110, M = 6010;
    int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    int[] dist = new int[N];
    boolean[] vis = new boolean[N];
    int INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, k, idx;
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        he[a] = idx;
        w[idx] = c;
        idx++;
    }
    public int networkDelayTime(int[][] ts, int _n, int _k) {
        n = _n; k = _k;
        Arrays.fill(he, -1);
        for (int[] t : ts) {
            int u = t[0], v = t[1], c = t[2];
            add(u, v, c);
        }
        spfa();
        int ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dist[i]);
        }
        return ans > INF / 2 ? -1 : ans;
    }
    void spfa() {
        Arrays.fill(vis, false);
        Arrays.fill(dist, INF);
        dist[k] = 0;
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        d.addLast(k);
        vis[k] = true;
        while (!d.isEmpty()) {
            int poll = d.pollFirst();
            vis[poll] = false;
            for (int i = he[poll]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[poll] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[poll] + w[i];
                    if (vis[j]) continue;
                    d.addLast(j);
                    vis[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}
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  • 时间复杂度:O(nm)O(n*m)
  • 空间复杂度:O(m)O(m)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.743 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:github.com/SharingSour…

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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